Average

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There are multiple methods for calculating the Average of a set of n numbers The most common method, and the one generally referred to simply as the average is infact the Arithmetic mean:

Arithmetic Mean

The Arithmetic mean ist the "Standard" average.

${\bar {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

Geometric Mean

The Geometric Mean

ist ein geeignetes Lagemass für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z.B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

${\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}$

Harmonisches Mittel

Das Harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemass für Größen, die durch einen Bezug auf eine Einheit definiert sind, z.B. von Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträgen (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit)

${\bar {x}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

Verallgemeinerter Mittelwert

${\bar {x}}(m)={\sqrt[{m}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}}}$ mittels geeigneter Wahl des Parameters m können die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

AM

m=1

GM

m->0

HM

m=-1

Gewichtetes Mittel

Das gewichtete Mittel wird verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

Die Gewichte $w_{i}$ sind die Umfänge der Teilstichproben oder, in anderen Anwendungen, ein Maß für die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst.

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreisser", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrigbleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

s.a. Median Minimumseigenschaften von Lagemaßzahlen