Ortogonalidade (matemáticas)

En matemáticas, a ortogonalidade é a xeneralización da noción xeométrica de perpendicularidade á álxebra linear das formas bilineares.

Dous elementos $u$ e $v$ dun espazo vectorial con forma bilinear $B$ son ortogonais cando $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0$ . Dependendo da forma bilinear, o espazo vectorial pode conter vectores nulos, vectores autoortogonais distintos de cero, nese caso a perpendicularidade substitúese pola ortogonalidade hiperbólica.

No caso dos espazos de funcións, as familias de funcións utilízanse para formar unha base ortogonal, como nos contextos de polinomios ortogonais, funcións ortogonais e combinatorias.

Definicións

En xeometría, dous vectores euclidianos son ortogonais se son perpendiculares, é dicir forman un ángulo recto.
Dous vectores $u'$ e $v$ nun espazo de produto interno $V$ son ortogonais se o seu produto interno $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ é cero^[2]. Esta relación denomínase $\mathbf {u} \perp \mathbf {v}$ .
Un conxunto de vectores no espazo de produto interno chámanse ortogonais por pares se cada parella deles é ortogonal entre si. Tal conxunto chámase conxunto ortogonal (ou sistema ortogonal). Se os vectores están normalizados, forman un sistema ortonormal.
Unha matriz ortogonal é unha matriz cuxos vectores columna son ortonormais entre si.
Unha base ortonormal é unha base cuxos vectores son á vez ortogonais e normalizados (son vectores unitarios).
Unha transformación linear conforme conserva ángulos e relacións de distancia, o que significa que transformar vectores ortogonais pola mesma transformación linear conforme manterá eses vectores ortogonais.
Dous subespazos vectoriais $A$ e $B$ dun espazo produto interno $V$ chámanse subespazos ortogonais se cada vector de $A$ é ortogonal a cada vector de $B$ . O subespazo máis grande de $V$ que é ortogonal a un subespazo dado é o seu complemento ortogonal.
Dado un módulo $M$ e o seu dual $M^{*}$ , un elemento $m'$ de $M^{*}$ e un elemento $m$ de $M$ son cero se o seu emparellamento natural é cero. $\langle m',m\rangle =0$ . Dous conxuntos $S'\subseteq M^{*}$ e $S\subseteq M$ son ortogonais se cada elemento de $S'$ é ortogonal a cada elemento de $S$ .^[3].

Nalgúns casos, a palabra normal úsase para significar ortogonal, particularmente no sentido xeométrico como normal a unha superficie. Por exemplo, o eixo y é normal á curva $y=x^{2}$ na orixe.

No entanto, normal tamén pode referirse á magnitude dun vector. En particular, un conxunto chámase ortonormal (ortogonal e tamén normal) se é un conxunto ortogonal de vectores unitarios. Como resultado, adoita evitarse o uso do termo normal para significar "ortogonal". A palabra "normal" tamén ten un significado diferente en probabilidade e estatística.

Un espazo vectorial cunha forma bilinear xeneraliza o caso dun produto escalar. Cando a forma bilinear aplicada a dous vectores resulta en cero, entón son ortogonais. O caso dun plano pseudo-euclidiano usa o termo ortogonalidade hiperbólica. Na figura, os eixos x′ e t′ son hiperbólico-ortogonais para calquera $\phi$ dado.

Espazos vectoriais euclidianos

No espazo euclidiano, dous vectores son ortogonais se e só se o seu produto escalar é cero, é dicir, forman un ángulo de 90° ( ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ radiáns ), ou un dos vectores é cero.^[4] Polo tanto, a ortogonalidade dos vectores é unha extensión do concepto de vectores perpendiculares a espazos de calquera dimensión.

O complemento ortogonal dun subespazo é o espazo de todos os vectores que son ortogonais a todos os vectores do subespazo. Nun espazo vectorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal dunha recta que pasa pola orixe é o plano que pasa pola orixe perpendicular a ela, e viceversa.^[5]

Funcións ortogonais

Usando o cálculo integral, é común usar o seguinte para definir o produto interno de dúas funcións $f$ e $g$ en relación a unha función peso non negativa $w$ nun intervalo $[a,b]$ :

\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.

En casos simples, $w(x)=1$ .

Dicimos que as funcións $f$ e $g$ son ortogonais se o seu produto interno (equivalentemente, o valor desta integral) é cero:

\langle f,g\rangle _{w}=0.

A ortogonalidade de dúas funcións en relación a un produto interno non implica a ortogonalidade en relación a outro produto interno.

Escribimos a norma en relación a este produto interno como

\|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}

Os membros dun conxunto de funcións ${f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }$ son ortogonais en relación a $w$ no intervalo $[a,b]$ se

\langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.

Os membros de tal conxunto de funcións son ortonormais en relación a $w$ no intervalo $[a,b]$ se

\langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},

onde

\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.

é o delta de Kronecker.

Noutras palabras, cada par deles (excluíndo o emparellamento dunha función consigo mesma) é ortogonal e a norma de cada un é 1. Véxase en particular os polinomios ortogonais.

Exemplos

Os vectores $(1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}$ son ortogonais entre si, posto que $(1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,$ $\ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,$ and $(1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0$ .
Os vectores $(1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}$ e $(0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}$ son ortogonais. O produto escalar deles é cero.
As funcións $2t+3$ e $45t^{2}+9t-17$ son ortogonais en relación a un peso unidade no intervalo de −1 a 1:

\int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0

As funcións $1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N}$ son ortogonais en relación a integración de Riemann nos intervalos $[0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]$ , ou calquera outro intervalo pechado de lonxitude $2\pi$ . Este feito é central nas series de Fourier.

Polinomios ortogonais

Varias secuencias polinómicas nomeadas con nomes de matemáticos do pasado son secuencias de polinomios ortogonais. En particular:

Os polinomios de Hermite son ortogonais en relación á distribución gaussiana cun valor medio cero.
Os polinomios de Legendre son ortogonais en relación á distribución uniforme no intervalo $[-1,1]$ .
Os polinomios de Laguerre son ortogonaisen relación á distribución exponencial . As secuencias polinómicas de Laguerre algo máis xerais son ortogonais en relación ás distribucións gamma.
Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son ortogonais en relación á medida ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo son ortogonais en relación á distribución semicírculo de Wigner.

Combinatoria

En combinatoria, dous cadrados latinos $n\times n$ son ortogonais se a súa superposición dá todas posíbeis combinacións de entradas $n^{2}$ .^[6]

Completamente ortogonal

Dous planos planos (non curvos) $A$ e $B$ dun espazo euclidiano de catro dimensións chámanse completamente ortogonais se e só se cada recta que está en $A$ é ortogonal a cada recta en $B$ .^[7] Nese caso os planos $A$ e $B$ cortaránse nun único punto $O$ , de xeito que se unha recta en $A$ corta cunha recta en $B$ , crúzanse en $O$ . $A$ e $B$ son perpendiculares e paralelas de Clifford.

Notas

↑ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
↑ "Orthogonal".
↑ Bourbaki. Algebra I. p. 234.
↑ Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerical linear algebra. SIAM. p. 13. ISBN 978-0-89871-361-9.
↑ R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. pp. 417–419. ISBN 978-0-679-77631-4.
↑ Hedayat, A.; et al. (1999). Orthogonal arrays: theory and applications. Springer. p. 168. ISBN 978-0-387-98766-8.
↑ Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover. p. 124.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.

[2] "Orthogonal".

[3] Bourbaki. Algebra I. p. 234.

[4] Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997). Numerical linear algebra. SIAM. p. 13. ISBN 978-0-89871-361-9.

[R._Penrose_2007_417–419-5] R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. pp. 417–419. ISBN 978-0-679-77631-4.

[6] Hedayat, A.; et al. (1999). Orthogonal arrays: theory and applications. Springer. p. 168. ISBN 978-0-387-98766-8.

[7] Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover. p. 124.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]