Vés al contingut

Conjectura

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La part real (vermella) i la part imaginària (blava) de la funció zeta de Riemann al llarg de la línia crítica Re (s) = 1/2. Els primers zeros no trivials es poden veure a Im (s) = ± 14.135, ± 21.022 i ± 25.011. La hipòtesi de Riemann, una famosa conjectura, diu que tots els zeros no trivials de la funció zeta es troben al llarg de la línia crítica.

Una conjectura és, en matemàtiques, un enunciat per al qual hi ha bones intuïcions que fan pensar que és veritat, però que encara no ha estat demostrat ni refutat.[1][2][3][4] Quan s'ha demostrat una conjectura rep el nom de teorema i es pot utilitza com a tal per construir altres demostracions formals.[5][6] Algunes conjectures, com la hipòtesi de Riemann (encara avui en dia una conjectura) o el darrer teorema de Fermat (que va ser una conjectura fins que Andrew Wiles la va demostrar l'any 1995), han donat forma a gran part de la història de les matemàtiques, en tant que noves àrees de les matemàtiques es desenvolupen amb l'objectiu de demostrar conjectures.

Conjectures en matemàtiques

[modifica]

Fins que es demostrà el 1995, la més famosa de totes les conjectures era el (llavors mal anomenat) últim teorema de Fermat. En el procés de prova es demostrà també un cas del teorema de Taniyama-Shimura. Una altra conjectura coneguda que Grigori Perelman demostrà el 2003 és la conjectura de Poincaré. Altres conjectures especialment famoses són:[7]

Darrer teorema de Fermat

[modifica]
Article principal: Darrer teorema de Fermat

En teoria de nombres, el darrer teorema de Fermat (de vegades anomenat conjectura de Fermat, especialment en textos més antics) estableix que no hi ha tres nombres enters positius , , i que puguin satisfer l'equació per a qualsevol nombre enter de superior a dos.

Aquest teorema va ser conjecturat per perimer cop per Pierre de Fermat l'any 1637 en el marge d'una còpia d'Arithmetica, on va afirmar que tenia una demostració que era massa gran per cabre en el marge.[8] La primera demostració exitosa va ser proposada l'any 1994 per Andrew Wiles, i publicada formalment l'any 1995, després de 358 anys d'esforç per part dels matemàtics. El problema no resolt va estimular el desenvolupament de la teoria algebraica de nombres en el segle XIX i la demostració del teorema de la modularitat en el segle XX. Es tracta d'un dels teoremes més notables de la història de les matemàtiques, i abans de la seva demostració estava en el llibre Guinness World Records com un dels "problemes matemàtics més difícils".[9]

Teorema dels quatre colors

[modifica]
Article principal: Teorema dels quatre colors
Un mapa de quatre colors dels estats dels Estats Units (ignorant els llacs).

En matemàtiques, el teorema dels quatre colors, o el teorema del mapa de quatre colors, estableix que donada qualsevol separació d'un pla en regions contígües, per produir una figura anomenada mapa, no calen més de quatre colors per pintar les regions del mapa, de tal manera que no hi hagi dues regions adjacents que tinguin el mateix color. Dues regions són adjacents si comparteixen un límit comú que no sigui un vèrtex, entenent vèrtex com el punt compartit per 3 o més regions.[10] Per exemple, en el mapa dels Estats Units d'Amèrica, Utah i Arizona són adjacents, però Utah i Nou Mèxic, que només comparteixen un punt que també pertany a Arizona i Colorado, no ho són.

El matemàtic alemany Möbius va mencionar el problema en les seves conferències de 1840.[11] La conjectura va ser proposada per primer cop el 23 d'octubre de 1852[12] quan Francis Guthrie, tot intentant pintar el mapa de les regions d'Anglaterra, va observar que només eren necesaris quatre colors diferents. El teorema dels cinc colors, que té una breu demostració elemental, estableix que cinc colors són suficients per pintar un mapa i va ser demostrada a finals del segle XIX;[13] no obstant això, demostrar que quatre colors són suficients va resultar ser significativament més difícil. Han aparegut diverses demostracions no vàlides i contraexemples falsos des de la primera declaració de la conjectura dels quatre colors l'any 1852.

El teorema dels quatre colors va ser finalment demostrat l'any 1976 per Kenneth Appel i Wolfgang Haken. Va ser el primer teorema important que es va demostrar utilitzant un ordinador. L'enfocament d'Appel i Haken va començar mostrant que hi ha un conjunt particular de 1936 mapes, cadascun dels quals no pot ser part d'un contraexemple de menor mida per al teorema dels quatre colors (és a dir, si apareguessin, es podria crear un contraexemple més petit). Appel i Haken van utilitzar un programa informàtic ad hoc per confirmar que cada un d'aquests mapes tenia aquesta propietat. A més, qualsevol mapa que pugui ser un contraexemple ha de tenir una part que s'assembli a un d'aquests 1936 mapes. Mostrant això amb centenars de pàgines d'anàlisis a mà, Appe i Haken van concloure que no existeix un contraexemple més petit perquè hauria de contenir un d'aquests 1936 mapes, que són colorejables en 4 colors. Aquesta contradicció implica que no hi ha contraexemples en absolut i que, per tant, el teorema és verdader. Inicialment, no era factible que la demostració assistida per ordinador fos verificada per un humà a mà.[14] No obstant això, la demostració ha guanyat des de llavors una acceptació més àmplia, tot i que encara hi ha qui dubta.[15]

Referències

[modifica]
  1. ↑ «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Conjecture» (en anglès americà), 01-08-2019. [Consulta: 12 novembre 2019].
  2. ↑ «Definition of CONJECTURE» (en anglès). [Consulta: 12 novembre 2019].
  3. ↑ Oxford Dictionary of English. 2010. 
  4. ↑ Schwartz, JL. Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics., 1995, p. 93. ISBN 9780195115772. 
  5. ↑ «The Definitive Glossary of Higher Math Jargon | Math Vault» (en anglès americà), 2019-08-01EDT23:55:20-04:00. [Consulta: 30 juny 2021].
  6. ↑ Weisstein, Eric W. «Fermat's Last Theorem» (en anglès). [Consulta: 12 novembre 2019].
  7. ↑ Weisstein, Eric W. «Unsolved Problems» (en anglès). [Consulta: 14 gener 2025].
  8. ↑ Ore, Oystein (1988, 1948), Number Theory and Its History, Dover, pàg. 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5, <https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203>
  9. ↑ «Science and Technology». A: The Guinness Book of World Records. Guinness Publishing Ltd., 1995. 
  10. ↑ Georges Gonthier «Formal Proof—The Four-Color Theorem». Notices of the AMS, vol. 55, 11, 12-2008, pàg. 1382–1393. «From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions are connected open sets. Two regions of a map are adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map can be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.»
  11. ↑ W. W. Rouse Ball (1960) The Four Color Theorem, in Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 222-232.
  12. ↑ Donald MacKenzie, Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust (MIT Press, 2004) p103
  13. ↑ Heawood, P. J. «Map-Colour Theorems». Quarterly Journal of Mathematics [Oxford], vol. 24, 1890, pàg. 332–338.
  14. ↑ Swart, E. R. «The Philosophical Implications of the Four-Color Problem». The American Mathematical Monthly, vol. 87, 9, 1980, pàg. 697–702. DOI: 10.2307/2321855. ISSN: 0002-9890. JSTOR: 2321855.
  15. ↑ Wilson, Robin. Four colors suffice : how the map problem was solved. Revised color. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2014, p. 216–222. ISBN 9780691158228. OCLC 847985591. 

Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjectura&oldid=35159265»