Draft:Superconductivity (Theory and Calculation)

a. Elektrodinamika

Dasar elektrodinamika dalam superkonduktivitas

Superkonduktivitas adalah sebuah fenomena fisika yang terjadi apabila sebuah material tidak memiliki hambatan listrik $(R=0)$ saat didinginkan pada suhu yang sangat rendah, yang sering disebut sebagai suhu kritis (TC), yaitu rentang suhu helium cair. Fenomena ini pertama kali ditemukan oleh Kamerlingh Onnes pada tahun 1911, di Leiden. Karakteristik lain dari fenomena superkonduktivitas adalah material yang bersifat diamagnetis sempurna saat diberikan medan magnet eksternal, dikenal juga sebagai Efek Meissner.

Superdiamagnetisme (Persamaan Maxwell)

Dalam bentuk potensial skalar dan vektor, persamaan Maxwell dalam konteks superdiamagnetisme akan mengikuti

$\nabla \cdot B=0,B=\nabla \times {A}$

serta adanya Lorentz Gauge

$\nabla \cdot A+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$

sedangkan untuk komponen terhadap medan listrik

$\displaystyle \nabla \times {E}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {A})\to \nabla \times {\left(E+{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)}=0$

sehingga

$E+{\frac {\partial A}{\partial t}}=-\nabla A$

dan juga

$\nabla \cdot E=-\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot A)=-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

serta

$\mu _{o}\cdot J=-\nabla \times {B}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}=\nabla ^{2}A-\nabla \left(\nabla \cdot A+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}$

Perhatikan bahwa sku kedua bernilai nol sehingga:

$\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)A=\mu _{0}\cdot J$

dengan demikian, bisa diambil kesimpulan bahwa potensial vektor berbanding lurus dengan kerapatan arus.

Medan Magnet Kritis

Untuk superkonduktor tipe-I, keberadaan medan magnet eksternal yang lebih besar dari medan magnet kritis $(B_{c}(T))$ dapat menghapus kondisi superkonduktivitasnya. Medan magnet kritis ini besarnya bergantung pada suhu.

$B_{c}(T)=B_{c}(0)\left[1-\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{2}\right]$

dengan Tc sebagai suhu kritis. Pada suhu nol mutlak, medan magnet kritis, $B_{c}(0)$, bervariasi tergantung pada masing-masing material superkonduktornya, yang secara umum dapat dituliskan sebagai

$B_{c}(0)=\left(0,01{\frac {Tesla}{K}}\right)T_{c}$

Di sisi lain, superkonduktor tipe-II memiliki dua medan magnet kritis, $B_{c}1$ dan $B_{c}2$, dengan karakteristik

$B_{c}1<B_{c}<B_{c}2$

Di bawah $B_{c}1$, material memiliki sifat superkonduktor, sebagaimana superkonduktor tipe-I. Sebaliknya, di atas $B_{c}2$, sebuah material kehilangan kondisi superkonduktornya (normal), yang juga sama seperti pada kasus superkonduktor tipe-I. Namun, hal yang unik terletak pada medan magnet diantaranya, $B_{c}$. Pada kondisi ini, superkonduktor tipe-II berada pada kondisi campuran, vortex state, yaitu ketika inti normal dikelilingi oleh arus superkonduktor yang berputar. Selama pusaran arus superkonduktor itu tetap ada, material masih dapat menghantarkan arus tanpa ada hambatan. Dalam pengaruh medan magnet eksternal $(B_{e}xt)$, medan dalam sebuah material dikarakterisasikan oleh vektor $(M)$, serta sebagian dari medan tersebut $(B_{m})$ akibat magnetisasi dapat dituliskan sebagai:

$B_{m}=\mu _{0}M$

serta total medan magnet

$B=B_{ext}+B_{m}=B_{ext}+\mu _{0}M$

Kuantisasi Fluks Magnetik

Fluks Magnetik $\Phi _{m}$ yang melalui cincin superkonduktor yang tertutup dapat di tuliskan sebagai:

$\Phi _{m}=\oint _{S}da\cdot B=n\Phi _{0}$

dengan $n$ sebagai bilangan bulat dan 0 sebagai fluks kuantum elementer. Fenomena ini ditemukan oleh Bascom S. Deaver, Jr., dan William M. Fairbank, serta secara independen oleh R. Doll dan M. Nabauer. Deaver dan Fairbank menemukan bahwa ketika suatu silinder superkonduktor dengan luas dalam sebesar $1,7\times {10^{-10}m^{2}}$ diberikan medan magnet yang lebih kecil daripada $7\times {10^{-6}T}$, tidak ditemukan fluks magnetik melalui silinder tersebut. Hal ini disebabkan karena arus superkonduktor pada silinder menghasilkan medan magnet yang melawan medan eksternal sehingga medan dalam superkonduktor dan fluks yang melaluinya sama-sama bernilai nol. Namun, jika diberikan medan magnet eksternal yang lebih besar daripada $7\times {10^{-6}T}$, maka fluks akan mengikuti persamaan

$\Phi _{0}\approx 2\times {10^{-15}T\cdot m^{2}}$

dengan fluks kuantum elementer yang juga didasarkan pada kesalahan pengukuran sehingga bernilai

$\Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2,07\times {10^{-15}T\cdot m^{2}}$

b. London current

Persamaan London merupakan pendekatan teori superkonduktivitas berdasarkan fenomenologi yang dikembangkan oleh dua bersaudara Fritz dan Heinz London pada tahun 1935. Kedua persamaan London dikembangkan untuk menghubungkan arus superkonduksi dengan medan elektromagnetik yang berinteraksi di dalam dan sekitar material berdasarkan teori elektromagnetik klasik, seperti ibaratnya teori Ohm yang menjelaskan pendekatan yang sama namun pada konduktor sederhana. Aplikasi utama persamaan London adalah untuk menjelaskan arus yang mengalir tanpa resistansi dan efek Meissner yang diperkenalkan oleh Walther Meissner dan Robert Ochsenfeld dua tahun sebelumnya, dimana efek Meissner akan kemudian dapat dipahami sebagai konsekuensi dari minimalisasi energi bebas elektromagnetik.

Deskripsi

Kedua persamaan London memiliki ekspresi berdasarkan kuat medan elektromagnetik:

$\displaystyle {\frac {\partial {\vec {j_{s}}}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {E}}$

$\nabla \times {\vec {j_{s}}}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {B}}$

Dimana $j_{s}$ adalah densitas arus dalam kondisi superkonduksi, ${\vec {E}}$ dan ${\vec {B}}$ merupakan kuat medan listrik dan medan magnet di dalam superkonduktor, e adalah muatan dari elektron, m merupakan massa dari elektron, serta $n_{s}$ sebagai suatu konstanta yang lebih umum diartikan sebagai densitas jumlah partikel dari pembawa muatan superkonduksi. Menyesuaikan dengan efek Meissner yaitu interaksi superkonduktor dengan medan magnet eksternal, maka kuat medan elektromagnetik hanya akan terpengaruhi oleh medan potensial vektor ${\vec {A}}$, sehingga densitas arus superkonduktivitas dapat didefinisikan sebagaimana rangkuman dari kedua persamaan London:

$\displaystyle {\vec {j_{s}}}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {A_{s}}}$

Densitas arus yang didapatkan juga bisa dinamakan sebagai Arus London. Arus london akan menunjukkan bahwa medan potensial vektor dibatasi oleh suatu penyeimbang dinamakan London Gauge $\nabla \cdot {\vec {A_{s}}}=0$ didapatkan berdasarkan konservasi muatan $\nabla \cdot j=0$ . London gauge juga dapat dinamakan sebagai Coulomb gauge secara umum dalam teori medan elektromagnet. Medan potensial vektor dibatasi juga oleh kondisi minimumnya aliran arus superkonduksi pada permukaan superkonduktor yang proporsional kepada vektor normal ${\vec {A_{s}}}\cdot {\hat {n}}=0$. Kehadiran kondisi London Gauge menjaga invariansi dari medan potensial vektor ketika dilakukan perubahan gauge ${\vec {A_{s}}}\to {\vec {A_{s}}}+\nabla \chi$ dengan suatu fungsi skalar.

Argumen Matematik

Perlakuan matematik untuk mendapatkan persamaan London dimulai dari modifikasi solusi dari persamaan Maxwell tanpa mengubah kerangka matematiknya sendiri. Berdasarkan fenomena yang teramati dalam superkonduksi, diketahui bahwa elektron dapat mengalir tanpa resistansi, insensitif terhadap hamburan elektron dalam bahan yang dapat terjadi, dan dibatasi oleh densitas pembawa muatan yang uniform dan stasioner. Pendekatan pertama yang dilakukan oleh London adalah dengan menganggap elektron seperti cairan sehingga densitas jumlah partikel dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari jumlah keadaan normal dan keadaan superkonduksi $n=n_{n}+n_{s}$ dan memenuhi distribusi Bose-Einstein. Pandangan elektron sebagai cairan dapat dibayangkan seperti elektron bebas yang dipengaruhi oleh medan listrik eksternal yang uniform, memberikan faktor gaya Lorentz (tanpa medan magnet) dalam analisis hukum kedua Newton:

$m{\frac {\partial {\vec {v_{s}}}}{\partial t}}=-e{\vec {E}}$

Menghasilkan elektron yang terakselerasi secara uniform. Arus yang terhasilkan dalam fenomena ini akan bergerak secara bebas, sehingga densitas arusnya:

${\vec {j_{s}}}=-n_{s}e{\vec {v_{s}}}$

Sehingga turunan terhadap waktu dari densitas arus akan menghasilkan persamaan London pertama:

${\frac {\partial {\vec {j_{s}}}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {E}}$

Persamaan London kedua dapat diperoleh dengan menggunakan hukum Faraday

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Lalu mengambil curl dari persamaan London pertama untuk mendapatkan:

$\nabla \times {\vec {j_{s}}}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {B}}$

Untuk menghubungkan persamaan London dengan efek Meissner, persamaan London kedua dapat digunakan untuk mencari solusi untuk nilai kuat medan magnet eksternal. Menggunakan hukum Ampere

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}$

Maka mengambil curl dari persamaan London kedua akan menghasilkan persamaan Helmholtz untuk medan magnet:

$\nabla ^{2}{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {B}}$

Dari persamaan ini, nilai pertama yang dapat diambil adalah kedalaman penetrasi London yang didefinisikan sebagai:

$\lambda _{s}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{s}e^{2}}}}$

Nilai ini merupakan suatu nilai jarak maksimum untuk seberapa mampu medan magnet eksternal menembus material yang beradap pada kondisi superkonduksi. Kedalaman penetrasi London digunakan dalam mendefinisikan solusi umum dari persamaan Helmholtz untuk satu dimensi, dengan menganggap x merupakan ketebalan dari material superkonduksi:

$B(x)=B_{0}e^{-{\frac {x}{\lambda _{s}}}}$

Dari persamaan tersebut, dapat diamati bahwa kuat medan magnet akan meluruh hingga menjadi sangat lemah ketika semakin menembus materialnya. Oleh karena itu, persamaan ini menggambarkan efek Meissner dengan menghilangnya medan magnet dalam material.

Argumen mikroskopis

Argumen untuk mendapatkan bentuk arus London dapat diperoleh dari berbagai cara lainnya. Ketika memasuki pendekatan mikroskopis dan membahas sistem kuantum, maka dengan model arus superkonduktivitas yang sudah dimiliki:

${\vec {j_{s}}}=-n_{s}e{\vec {v_{s}}}$

Maka ekspresi kuantum dapat digunakan. Dalam teori mekanika kuantum terpengaruhi oleh elektromagnetisme digunakan, dapat ditemukan ekspresi untuk vektor kecepatan:

${\vec {v_{s}}}={\frac {1}{m}}({\vec {p}}+e{\vec {A_{s}}})$

Namun, ada asumsi tambahan yang akan muncul berdasarkan teori Bloch bahwa sistem superkonduktivitas dalam kuantum akan berada pada keadaan dasar sehingga momentum kanonik ${\vec {p}}$ akan bernilai nol. Suku yang tersisa dapat disubstitusi kembali kedalam arus untuk mendapatkan arus London.

${\vec {j_{s}}}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}{\vec {A_{s}}}$

Sama dengan definisi awal yang sudah diberikan.

c. Aharonov Bohm Effect

Aharonov-Bohm Effect pertama kali diprediksi secara teoritis oleh Yakir Aharonov dan David Bohm pada tahun 1959. Efek ini adalah fenomena kuantum di mana partikel bermuatan seperti elektron dipengaruhi oleh potensial elektromagnetik, meskipun partikel tersebut berada di daerah tanpa medan listrik atau medan magnet secara langsung.

Elektron-elektron koheren dari dua celah melewati sebuah solenoid panjang dari sisi atas dan bawahnya, lalu membentuk pola interferensi di layar. Tanpa medan magnet dalam solenoid, pola interferensinya tampak seperti palet kuning dengan garis terang di tengah. Dengan medan magnet, menurut interpretasi baru, elektron mengalami pembelokan akibat kopling elektromagnetik satu sama lain, dan membentuk pola interferensi seperti palet merah. Dalam interpretasi konvensional berdasarkan mekanika kuantum, perbedaan fase dalam fungsi gelombang berkaitan langsung dengan potensial vektor dan menyebabkan pergeseran pola interferensi, tanpa harus melibatkan pembelokan elektron.

1. Varisasi Efek Aharonov Bohm

Efek Aharonov Bohm Statis (Type I)

Medan magnet tetap (tidak berubah terhadap waktu), Tidak ada medan listrik atau medan magnet di jalur elektron, Elektron tetap mengalami perubahan fase dan pola interferensinya bergeser.

Efek Aharonov Bohm Dinamis (Type II)

Medan magnet berubah terhadap waktu, menghasilkan medan listrik tambahan. Elektron tidak hanya terpengaruh oleh potensial, tapi juga perubahan jalurnya karena medan listrik.

2. Listrik Bebas di Magnet Konstan - Landau Levels

Dalam gauge simetris, potensial vector diberikan oleh

${\vec {A}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\vec {B}}$

$A_{x}=-{\frac {1}{2}}yB,A_{y}={\frac {1}{2}}xB$

Dengan memasukkan ini ke dalam hamiltoniannya dan mengasumsikan V = 0, kita peroleh

$\mathrm {H} ={\frac {1}{2m}}(-\hbar ^{2}\nabla ^{2}-{\frac {eB}{c}}L_{z}+{\frac {e^{2}B^{2}}{4c^{2}}}(x^{2}+y^{2}))$

3.Two Level System (TLS) dan Variasi Suhu

TLS menggambarkan keadaan kuantum dari atom atau kelompok atom dalam material amorf (seperti kaca) yang memiliki dua posisi stabil energetik, seperti dua lembah dalam profil potensial. Sistem ini digunakan untuk menjelaskan fenomena kuantum pada suhu sangat rendah, seperti Kapasitas panas rendah, Konduktivitas termal rendah dan Respon dielektrik yang aneh terhadap medan magnet

1. Pada T ≈ 0 K, flip-flop states (ETLS) tidak aktif, maka tidak ada respons terhadap medan luar.
2. Pada T rendah (misalnya 10–30 mK), ETLS aktif, memungkinkan interferensi kuantum dan pengaruh Aharonov–Bohm muncul.
3. Meningkatkan suhu lalu dephasing meningkat lalu pola interferensi menjadi kabur lalu efek AB berkurang.

4. Fase Tambahan

Dalam eksperimen seperti interferometer elektron, jika elektron melewati dua jalur yang mengelilingi daerah dengan fluks magnetik (misalnya, solenoid) tetapi tidak memasuki daerah tersebut, fungsi gelombang elektron akan memperoleh perbedaan fase:

$\Delta \phi ={\frac {q}{\hbar c}}\oint {\vec {A}}.d{\vec {l}}$

di mana $\phi$ adalah fluks magnetik melalui daerah yang dikelilingi jalur elektron. Perbedaan fase ini dapat diamati sebagai pergeseran pola interferensi, meskipun medan magnet ${\vec {B}}$ nol di sepanjang jalur elektron atau dalam bentuk sederhana jika mengaitkannya dengan fluks magnet

$\Delta \phi ={\frac {q\Phi }{\hbar c}}$

d. Magneto Static

Magnetostatika adalah cabang fisika yang menyelidiki medan magnet, gaya, dan energi yang timbul dari arus listrik konstan serta distribusi material magnetik.

Magnetostatika mengamati fenomena medan magnet di sekitar benda termagnetisasi, di mana magnetisasi sampel secara langsung memengaruhi kekuatan medan magnet di dalamnya.

Dengan demikian karakteristik umumnya adalah arus bersifat stasioner seiring dengan waktu, medan magnet bersifat stasioner dan gaya magnetic

Medan Magnet

Gaya yang bekerja pada muatan listrik tidak hanya ditentukan oleh posisinya, tetapi juga oleh kecepatannya. Setiap titik di ruang dicirikan oleh dua medan vektor yang menentukan gaya total pada muatan. Medan listrik (E) memberikan komponen gaya yang tidak tergantung pada gerakan muatan. Selain itu, ada gaya magnet tambahan, yang bergantung pada kecepatan muatan dalam hal ini merupakan arus.

Gaya ini selalu tegak lurus terhadap vektor kecepatan dan juga tegak lurus terhadap arah tetap tertentu di ruang. Besarnya gaya sebanding dengan komponen kecepatan yang tegak lurus terhadap arah unik ini. Untuk menyederhanakan, kita mendefinisikan medan magnet (B), yang menentukan arah unik ini dan konstanta proporsionalitas dengan kecepatan. Dengan demikian, gaya magnet dapat ditulis sebagai $\displaystyle q\cdot v\times {B}$.

Secara keseluruhan, gaya elektromagnetik total pada muatan dikenal sebagai Gaya Lorentz, yang dirumuskan sebagai:

$F=q\left(E+v\times {B}\right)$

Gaya Pada Kawat Berarus dalam Medan Magnet

Arus listrik adalah kumpulan partikel bermuatan yang bergerak dengan kecepatan $v$ di sepanjang kawat. Setiap muatan individual merasakan gaya melintang yang dirumuskan sebagai $F=qv\times {B}$. Jika ada $N$ muatan per satuan volume, maka dalam volume kecil $\Delta V$ kawat, terdapat $N\Delta V$ muatan. Gaya magnet total $\delta F$ pada volume $\Delta V$ ini adalah jumlah gaya pada setiap muatan, yaitu

$\Delta F=(N\Delta V)(qv\times {B})$.

$nqv$ adalah kerapatan arus $j$. Jadi, persamaan gaya pada volume kecil tersebut bisa kita tulis ulang menjadi:

$\Delta F=j\times {B}\Delta V$

Dengan demikian gaya per satuan volume pada kawat

Apabila arus mengalir secara seragam melintasi kawat dengan luas penampang A, kita bisa mengambil elemen volume silinder dengan luas dasar A dan panjang $\Delta L$. Dengan demikian, persamaan gaya menjadi:

$\Delta F=I\times {B}\Delta VL$

Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa gaya per satuan panjang pada kawat

Hukum Biot - Savart

Arus stabil menghasilkan medan magnet yang konstan dalam waktu; Teori arus stabil disebut magnetostatik. Hukum ini menggambarkan besar medan magnet di titik $r$ dari sebuah arus yang mengalir di sebuah kawat.

$\displaystyle B({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {({\vec {I}})\times ({\hat {r}})}{r^{2}}}dl={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {({\vec {dl}})\times ({\hat {r}})}{r^{2}}}dl$

$\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {id{\vec {s}}\times {\vec {r}}}{r^{2}}}$

Untuk Kasus Arus dalam Kabel lurus Panjang

Kita akan menggunakan hukum Biot dan Savart untuk membuktikan bahawa besarnya medan magnet pada jarak tegak lurus $R$ dari kawat lurus panjang (tak terhingga) yang membawa arus $i$ diberikan oleh:

$B={\frac {\mu _{0}i}{2\pi R}}$

Besaran medan $B$ hanya bergantung pada arus dan jarak tegak lurus $R$ dari titik dari kawat. Penurunan persamaan ini dari persamaan Biot - Savart dinyatakan sebagai berikut.

$\displaystyle dB={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {ids\times {\hat {r}}}{r^{2}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {ids\cdot sin(sin{\theta })}{r^{2}}}$

$\displaystyle B=2\int _{0}^{\infty }dB={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {sin(sin{\theta })}{r^{2}}}ds$

Dengan hubungan

$\displaystyle r={\sqrt {s^{2}+R^{2}}}$

$\displaystyle sin(sin{(\pi -\theta )})={\frac {R}{\sqrt {s^{2}-R^{2}}}}$

maka akan didapatkan:

$\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {Rds}{\left(s^{2}+R^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi R}}\left[{\frac {s}{\left(s^{2}+R^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\right]_{0}^{\infty }$

e. Efek Meissner

Pada awalnya, efek Meissner merupakan hasil eksperimen dari Meissner dan Ochsenfeld pada tahun 1933 tanpa adanya basis teori terlebih dahulu. Meissner dan Ochsenfeld menemukan bahwa jika superkonduktor didinginkan dengan medan magnet sampai suhunya di bawah temperatur transisi maka pada keadaan transisi, garis-garis induksi medan magnet $B$ akan expelled

Dengan adanya penjelasan mengenai arus London maka kita bisa meninjau secara teori bagaimana efek Meissner bisa terjadi? Pertama, kita mulai dari logam yang bukan superkonduktor. Logam ini bersifat paramagnetik:

${\frac {M}{\mu _{0}H}}\equiv \chi _{par}>0$

Persamaan diatas mengindikasikan bahwa arus London akan kalah dengan arus induksi sehingga logam biasa tidak memiliki sifat superkonduktivitas. Namun, dalam konteks superdiamagnetisme maka

$\chi _{dia}=-{\frac {1}{3}}\chi _{par}$

Persamaan kedua diatas membuat arus London tidak kalah dibanding arus induksi sehingga terjadilah efek Meissner (Medan magnet yang diakibatkan arus London berlawanan dengan medan magnet eksternal). Kita juga tahu bahwa arus London memiliki relasi, $j\propto {\vec {A}}$ maka jika kita tinjau:

$\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t}}=-\mu _{0}\left(\nabla \Phi +{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)$

Dengan $\nabla \Phi =0$ akibat relasi London diatas. Selanjutnya, kita gunakan relasi gelombang elektromagnetik $A(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$ dan kita substitusi ke persamaan ketiga. Maka,

$\displaystyle -e^{i\omega t}k^{2}A-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}e^{-i\omega t}A=i\mu _{0}\omega e^{-i\omega t}A$

$k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=i\mu _{0}\omega$

$\displaystyle k={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt {{\frac {\omega }{c^{2}}}+i\mu _{0}}}\equiv {\sqrt {\omega }}\cdot \left(k_{r}+ik_{i}\right)$

Dari persamaan keempat di atas kita kembali ke relasi gelombang elektromagnetik awal:

$\displaystyle A(x,t)=e^{{\sqrt {\omega }}\cdot \left(ik_{r}x-k_{i}x\right)-i\omega t}=e^{{\sqrt {\omega }}k_{i}x}e^{i\left({\sqrt {\omega }}k_{r}x-\omega t\right)}$

Persamaan kelima diatas menunjukkan bahwa intensitas gelombang elektromagnetik akan semakin teredam sejauh menembus material superkonduktor (London coherence length and London penetration depth) yang memverifikasi fenomena efek Meissner.

f. Entropi Superconducting

Entropi (SSS) dalam termodinamika mencerminkan jumlah konfigurasi mikroskopik yang mungkin untuk sistem makroskopik. Dalam konteks superkonduktivitas, entropi dibagi ke dalam dua fase, sebagai berikut. Fase normal memiliki lebih banyak konfigurasi mikroskopik (bebas, termal, tidak terkoheren), sehingga entropi lebih tinggi.

Fase superkonduktor, karena adanya formasi pasangan Cooper dan koherensi kuantum, memiliki entropi lebih rendah. Elektron membentuk keadaan kolektif dengan lebih sedikit derajat kebebasan.

Untuk memperjelas, tinjau kembali termodinamika

$dE=TdS-PdV\to TdS+BdM$

$dF=-SdT-PdV\to -SdT+BdM$

$dG=-SdT+VdP\to -SdT-MdB$

$dH=TdS+VdP\to TdS-MdB$

Ingat kembali defisini $C_{V}$

$C_{V}={\frac {dQ}{dT}}={\frac {TdS}{dT}}$

Perhatikan $S$ atau Entropi untuk mendapatkan $C_{V}$

$\displaystyle S=\left(-{\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{M}=\left(-{\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{B}$

Pilih saja bagian $\displaystyle S=\left(-{\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{B}$

Asumsikan bahwa $G(T,B)=G(T,0)+g(B)$

di medan EM, kita tahu bahwa:

${\frac {E_{em}}{V}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}$

Ingat, ketika $B=B_{c}$ maka tidak ada superconductor atau $g(B)=g(B_{c})=0$

Sekarang, coba tinjau secara fenomenologinya seperti apa:

$g(B)={\frac {B^{2}-B_{c}^{2}}{2\mu _{0}}}$

$G(T,B)=G(T,0)+{\frac {B^{2}-B_{c}^{2}}{2\mu _{0}}}$

Kemudian, kita akan tahu bahwa ternyata untuk $S_{nonsuperconducting}$ adalah:

$S=\left(-{\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{B}=-{\frac {\partial G(T,0)}{\partial T}}+{\frac {B_{c}}{3\mu _{0}}}{\frac {\partial B_{c}}{\partial T}}$

Dari sini, kita tau bahwa $C_{V}$ adalah:

$C_{V}={\frac {TdS}{dT}}={\frac {T\partial S_{nonsc}}{dT}}+{\frac {T}{3\mu _{0}}}\left[\left({\frac {\partial B_{c}}{\partial T}}\right)^{2}+\left(B_{c}{\frac {\partial ^{2}B}{\partial T^{2}}}\right)\right]$

untuk $C_{V}^{nonsc}$ kita bisa tuliskan sebagai berikut:

$B_{c}(t)=B_{0}\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{a}$

${\frac {dB_{c}}{dT}}=-{\frac {B_{0}a}{T_{c}}}\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{a-1}$

${\frac {d^{2}B_{c}}{dT^{2}}}=-{\frac {B_{0}a(a-1)}{T_{c}^{2}}}\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{a-2}$

Persamaan di atas bersifat General for All Materials

Sekarang, kita tinjau dari selisih antara $C_{v}^{sc}$ dengan $C_{V}^{nonsc}$ dengan menggunakan definisi $\Delta C_{V}=C_{v}^{sc}-C_{V}^{nonsc}$

$\displaystyle \Delta C_{V}={\frac {T}{2\mu _{0}}}\left({\frac {B_{0}}{T_{c}}}\right)^{2}\left[a^{2}\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{2(a-0)}+a(a-1)\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{a+a-2}\right]$

$\Delta C_{V}={\frac {T}{2\mu _{0}}}\left({\frac {B_{0}}{T_{c}}}\right)^{2}\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{2(a-1)}a(2a-1)...a>{\frac {1}{2}}$

Kemudian jika kondisinya $B_{c}(T_{c})=0$ maka:

$\Delta C_{V}(T_{c})={\frac {T_{c}}{3\mu _{0}}}\left({\frac {\partial B_{c}}{\partial t}}\right)^{2}\to positive(+)$

Tadi kita sudah mengetahui bahwa $S=\left(-{\frac {\partial G}{\partial T}}\right)^{B}=-{\frac {\partial G(T,0)}{\partial T}}+{\frac {B_{c}}{3\mu _{0}}}{\frac {\partial B_{c}}{\partial T}}$.

Jika ${\frac {\partial B_{c}}{\partial T}}<0$ maka:

$S_{sc}<S_{non-sc}$

dengan kata lain, Entropi di superconducting lebih kecil dibanding dengan non - Superconducting.

Tinjau kembali $C_{V}^{non-sc}$ untuk membuktikan apakah benar hasilnya positive

$B_{c}(T)=B_{0}\left(1-\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{2}\right)$

${\frac {dB_{c}(T)}{dT}}=-2B_{0}{\frac {T}{T_{c}}}$

${\frac {d_{c}^{B}(T)}{dT^{2}}}=-{\frac {2B_{0}}{T_{c}^{2}}}$

$\Delta C_{V}={\frac {T}{2\mu _{0}}}\left({\frac {4B_{0}^{4}T^{2}}{T_{c}^{4}}}+B_{0}\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{2}-{\frac {2B_{0}}{T_{c}^{2}}}\right)$

$\Delta C_{V}={\frac {TB_{0}^{2}}{\mu _{0}T_{c}^{2}}}\left[{\frac {2T^{2}}{T_{c}^{2}}}-\left(1-{\frac {T}{T_{c}}}\right)^{2}\right]\to \Delta C_{V}(T_{c})={\frac {2T_{c}B_{0}^{2}}{\mu _{0}T_{c}^{2}}}\to Positive$

Lalu, bagaimana dengan Entropinya?

Ingat kembali Fisika Statistik

$F=-kTln(Z)$

$Z$ adalah Fungsi Partisi $\to Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}\to {\frac {\partial z}{\partial \beta }}=-\sum _{i}Ee^{-\beta E_{i}}$

$E_{i}=\sum _{\epsilon }n_{i}\epsilon _{i}\to Z=\sum _{n_{i}}e^{-\sum _{\epsilon }\beta n_{i}\epsilon }\to Z=\prod _{\epsilon }\sum _{n_{i}}e^{-\beta n_{i}\epsilon }$

Kemudian kita tinjau dari jenis partikelnya, ada fermion dan ada boson. Kita pilih Fermion saja dimana $n=0$ atau $1$

$Z=\prod _{\epsilon }\sum _{n_{i}}e^{-\beta n_{i}\epsilon }=\prod _{\epsilon }\left(1+e^{-\beta \epsilon }\right)$

Energi $\to E={\frac {\sum _{i}E_{i}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}}={\frac {\frac {-\partial Z}{\partial \beta }}{Z}}=-{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}ln(Z)$

$E=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\sum _{\epsilon }ln\left(1+e^{-\beta \epsilon }\right)=+\sum _{\epsilon }{\frac {\epsilon e^{-\beta \epsilon }}{1+e^{-\beta \epsilon }}}=\sum _{\epsilon }{\frac {\epsilon }{e^{\beta \epsilon }+1}}=\sum _{\epsilon }\epsilon f(\epsilon )$

$e^{\beta \epsilon }={\frac {1}{f}}-1={\frac {1-f}{f}}\to e^{-\beta \epsilon }={\frac {f}{1-f}}$

$F=-kTln(Z)=-kT\sum _{\epsilon }ln\left(1+e^{-\beta \epsilon }\right)$

$dE-dF=TdS+SdT=d(TS)$

$E-F=TS\to S={\frac {E-F}{T}}$

$S={\frac {E-F}{T}}=k\sum _{\epsilon }\left(\beta \epsilon f-ln\left(1+e^{-\beta \epsilon }\right)\right)$

$S=+k\sum _{\epsilon }\left(f\cdot ln\left({\frac {1-f}{f}}\right)-ln\left({\frac {1-f+f}{1-f}}\right)\right)$

$S=+k\sum _{\epsilon }\left(-f\cdot ln(f)-(1-f)ln(1-f)\right)$

$S=-k\sum _{\epsilon }\left(f\cdot ln(f)+(1-f)ln(1-f)\right)$

g. BCS Theory

Dalam teori BCS (Bardeen–Cooper–Schrieffer), keadaan dasar superkonduktor dibentuk oleh pasangan elektron (dikenal sebagai pasangan Cooper) yang mengalami kondensasi ke dalam keadaan kuantum kolektif. Perubahan distribusi energi ini memiliki implikasi signifikan terhadap entropi sistem, terutama pada suhu mendekati nol Kelvin.

Dalam sistem Fermi normal pada suhu nol, semua keadaan di bawah energi Fermi terisi penuh, dan di atasnya kosong. Distribusi ini tajam dan menghasilkan entropi nol. Namun, dalam sistem superkonduktor: Terdapat campuran kuantum antara keadaan terisi dan kosong dekat permukaan Fermi.

Koefisien koherensi $u_{k}$ dan $v_{k}$ menggambarkan amplitudo probabilitas untuk masing-masing keadaan kuasi-partikel.

Probabilitas okupansi elektron $\displaystyle x_{k}=v_{k}^{2}$ menjadi fungsi halus dari $\epsilon _{k}$, bukan fungsi tangga seperti pada distribusi Fermi.

Distribusi halus ini mencerminkan reduksi jumlah mikrostate yang tersedia, dan oleh karena itu, entropi sistem superkonduktor lebih rendah dibandingkan dengan sistem normal pada suhu yang sama.

Distribusi Fermi-Dirac (Normal State)

Dalam sistem logam biasa (tanpa superkonduktivitas), probabilitas sebuah keadaan dengan energi $\epsilon _{k}$ di okupansi oleh elektron diberikan oleh:

$f(\epsilon _{k})={\frac {1}{e^{\frac {(\epsilon _{k}-\mu )}{k_{B}T}}+1}}$

Pada temperatur nol (T = 0), fungsi ini menjadi fungsi tangga:

$f(\epsilon _{k})=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{jika }}\epsilon _{k}<\mu \\0&{\text{jika }}\epsilon _{k}>\mu \end{array}}\right.$

Elektron pasti mengisi semua keadaan energi di bawah $\mu$ (energi Fermi), dan pasti kosong di atasnya.

Superkonduktor (BCS Theory)

Dalam keadaan superkonduktor, elektron tidak lagi berperilaku sebagai partikel bebas. Mereka membentuk pasangan Cooper. Dalam teori BCS, keadaan kuasi-partikel ditulis dalam bentuk kombinasi dari "diisi" dan "kosong", sehingga probabilitas okupansi berubah.

Probabilitas Okupansi keadaan $k$ diberikan oleh:

$x_{k}=v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\epsilon _{k}-\mu }{E_{k}}}\right)$

Dengan $E_{k}={\sqrt {(\epsilon _{k}-\mu )^{2}+\Delta ^{2}}}$

Dimana $\Delta$ Adalah celah energi (energy gap) superkonduktor.

h. Ginburg - Landau Theory

Teori Ginzburg-Landau merupakan teori fenomenologis yang menjelaskan konsep paramater orde dalam persamaan energi bebas untuk menjelaskan beberapa fenomena dalam superkonduktivitas. Teori ini dikembangkan oleh Vitaly Ginzburg dan Lev Landau pada tahun 1950 untuk memperbaiki teori London yang tidak dapat menjelaskan beberapa fenomena contohnya adalah superkonduktor tipe II yang menjelaskan adanya mixed state pada fase transisi.

Persamaan energi bebas pada teori Ginzburg-Landau dapat ditulis sebagai:

$F=\alpha |\Psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\Psi |^{4}+{\frac {\Psi ^{*}|p|^{2}\Psi }{2m^{*}}}+{\frac {|B|^{2}}{2\mu _{0}}}$

dengan $\alpha ,\beta$ koefisien parameter sebagai fungsi temperatur $\alpha (T)$ dan $\beta (T)$

$m^{*}$ adalah massa efektif

$p=-i\hbar \nabla -q^{*}A$

$q^{*}=2e$ adalah muatan pasangan cooper

$A$ adalah potensial skalar

$B=\nabla \times {A}$ adalah medan magnet

Teori Ginzburg - Landau pada Fase Transisi

Pada fase transisi, persamaan energi bebas pada teori Ginzburg-Landau akan dipengaruhi oleh parameternya yaitu $\alpha$ dan $\beta$ dimana parameter tersebut didefinisikan:

$\alpha \equiv \alpha '(T-T_{c}),...\alpha '>0$

$\beta \approx konstan$

Kasus 1 $(\alpha >0)$:

Pada kasus ini, suhu $T>T_{c}$ dan energi bebas $F$ akan memiliki nilai minimum ketika $\Psi =0$ sehingga sistem berada pada fase normal (tidak adanya superkonduktivitas). Sistem akan mulai masuk ke fase transisi ketika $T=T_{c}$.

Kasus 2 $(\alpha <0)$:

Pada fase superkonduktor ini, energi bebas akan memiliki nilai dua nilai minimum sesuai grafik ”Mexican-Hat or Wine Bottle Potential” diatas, dimana nilai minimum tersebut dapat dicari dengan:

${\frac {\partial F}{\partial |\Psi |}}=0=2\alpha |\Psi |+2\beta |\Psi |^{3}...|\Psi |={\sqrt {-{\frac {\alpha }{\beta }}}}$

Teori Ginzburg - Landau pada Elektrodinamika

Dengan memasukkan persamaan energi bebas $F=F(\Psi ^{*},\Psi ,\nabla \Psi ,A,\nabla A)$ pada persamaan Euler-Lagrange, maka akan didapatkan persamaan berikut:

$0={\frac {-2e\Psi ^{*}p\Psi }{m}}+{\frac {\nabla \times {B}}{\mu _{0}}}$

Dimana $J={\frac {-2e\Psi ^{*}p\Psi }{m}}$ sehingga didapat persamaan maxwell:

$\nabla \times {B}=\mu _{0}J$

Dengan memasukan $B=\nabla \times {A}$ serta $p=-i\hbar \nabla -q^{*}A$ pada persamaan maka didapatkan persamaan differensial berikut:

$\nabla ^{2}A-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{m}}|\Psi |^{2}A=0$

Dimana solusi dari persamaan tersebut adalah $A=A_{0}e^{-{\frac {x}{\lambda }}}$ dengan $\lambda ={\frac {m}{\mu _{0}q^{2}|\Psi |^{2}}}$ dimana $\lambda$ merupakan penetration depth yang menjelaskan seberapa jauh medan magnet dapat menembus ke dalam superkonduktor.

i. Ginzburg - Landau (Vortex)

Teori Ginzburg–Landau (GL) mempostulatkan bahwa dekat suhu transisi $T_{c}$, energi bebas Helmholtz suatu superkonduktor dapat dikembangkan dalam deret pangkat orde parameter kompleks $\psi ({\vec {r}})$. Bentuk umum fungsi energi bebas densitasnya (dalam satuan CGS) adalah

$\displaystyle f_{s}=\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}{\vec {A}}\right)\psi \right|^{2}+{\frac {|{\vec {B}}|^{2}}{8\pi }}$

di mana $|\psi |^{2}$ proporsional dengan kerapatan elektron superkonduktor. Parameter fenomenologis $\alpha (T)$ dan $\beta$ bergantung pada material, dengan $\alpha \propto T-T_{c}$

Melakukan variasi energi bebas total $F=\int f_{s}d^{3}r$ terhadap $\psi ^{*}$ dan medan vektor ${\vec {A}}$ menghasilkan persamaan Ginzburg - Landau:

$\alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}{\vec {A}}\right)^{2}\psi =0$

$J_{s}={\frac {e^{*}\hbar }{m^{*}}}Im(\psi ^{*}\nabla \psi )-{\frac {e^{*2}}{m^{*}c}}|\psi |^{2}{\vec {A}}$

Dua panjang karakteristik muncul dari teori ini: panjang koherensi $\xi$ dan panjang penetrasi London $\lambda$. Di definisikan sebagai:

$\xi (T)=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha (T)|}}\right)^{2}$

$\lambda (T)=\left({\frac {m^{*}c^{2}}{4\pi e^{*2}|\psi |^{2}}}\right)^{2}$

Rasio $k={\frac {\lambda }{\xi }}$ menentukan apakah suatu superkonduktor termasuk tipe I $\left(k<{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ atau tipe II $\left(k>{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$.

Solusi Vortex Abrikosov

Dalam superkondutor tipe Ii, solusi vortex muncul sebagai garis medan magnet kuantum yang menembus material. Vortex didefinisikan dengan orde parameter:

$\psi (r,\theta )=f(r)e^{i\theta }$

dengan $f(0)=0$ (orde parameter nol pusat) dan $f(r)\to f_{\infty }$. Perubahan fase $2\pi$ mengelilingi inti menciptakan arus superkonduktor melingkar.

Flusx magnetic per vortex di kuantisasi:

$\Phi =\oint {\vec {A}}\cdot dl={\frac {hc}{2e}}=\Phi _{0}$

Distribusi medan magnet dan orde parameter sekitar vortex menunjukkan:

• $f(r)\propto {\frac {r}{\xi }}$ untuk $r<<\xi$,

• $f(r)\to f_{\infty }$ untuk $r>>\xi$,

• $B(r)\approx B_{0}K_{0}\left({\frac {r}{\lambda }}\right)$ untuk $r>>\xi$ (dalam pendekatan London)

Interpretasi Fisik Panjang $\xi ,\lambda$ dan Medan Magnet

Panjang koherensi $\xi$ menggambarkan jarak karakteristik di mana orde parameter bervariasi. Dalam pendekatan BCS, terkait dengan ukuran pasangan Cooper:

$B(x)=B_{0}e^{-x}{\lambda }$

Dengan konfigurasi vortex:

• $\xi$ menentukan ukuran inti normal,

• $\lambda$ menentukan rentang peluruhan medan magnet di luar inti

• Rasio $k={\frac {\lambda }{\xi }}$ menentukan stabilitas vortex.

relevansi Fisik dalam superkonduktor Tipe II

Superkonduktor tipe II memungkinkan medan magnet menembus dalam bentuk larik vortex (fase campuran) antara medan kritis bawah $H_{c1}$ dan atas $H_{c2}$:

$H_{c1}\approx {\frac {\Phi _{0}}{4\pi \lambda ^{2}}}ln{(k)}$

$H_{c2}={\frac {\Phi _{0}}{2\pi \xi ^{2}}}$

Abrikosov menunjukkan bahwa larik segitiga meminimalkan energi bebas, menghasilkan struktur teratur vortex. Dalam kisaran ini, struktur vortex menentukan sifat transportasi dan magnetik superkonduktor.

j. Efek Josephson

Sebuah lapisan tipis material non-superkonduktor yang diapit oleh dua buah material superkonduktor, akan menimbulkan suatu efek yang bernama efek Josephson. Efek Josephson adalah suatu efek kuantum yang terjadi ketika elektron cooper pair dari superkonduktor berpindah ke superkonduktor lainnya melewati lapisan tipis non-superkonduktor, dengan melalui tunnelling quantum. Material yang diapit dua superkonduktor ini disebut Josephson Junction. Terdapat tiga jenis efek Josephson.

1. DC Josephson Effect

Efek ini terjadi pada saat kedua superkonduktor tidak diberikan beda tegangan, namun masih tedapat arus yang lewat akibat dari efek tunnelling elektron copper pair superkonduktor. Besarnya arus yang ditimbulkan dari efek ini adalah

$\displaystyle I=I_{0}sin\delta$

Dimana, $I_{0}$ adalah arus maksimum yang dapat mengalir melewati Josephson Junction. Lalu, adalah beda fase kuantum antar kedua superkonduktor $\displaystyle \delta =\theta _{1}-\theta _{2}$. Jika nilai fase kuantumnya sama, maka tidak akan terjadi arus. Lalu, bila terjadi perbedaan fase $\displaystyle 90^{\circ }$ maka akan terjadi arus maksimum. Arus yang lewati adalah arus DC yang tanpa adanya hambatan. Hal ini membuat tidak adanya daya disipasi pada efek ini. Jika nilai beda fasenya berubah setiap waktu, maka akan timbul AC JOSEPHSON EFFECT

2. AC Josephson Effect

Efek ini terjadi ketika kedua superkonduktor diberikan tegangan konstan. Tegangan ini akan membuat perubahan fase berubah setiap waktu. Adanya tegangan, membuat adanya perbedaan energi antara sisi kiri dan kanan superkonduktor sebesar $2eV$ , sehingga perubahan fasenya bisa ditulis menjadi

$\displaystyle {\frac {d\delta }{dt}}={\frac {2eV}{\hbar }}$

Jika $V=0$, maka tidak ada perubahan terhadap waktu, sehingga menciptakan DC JOSEPHSON EFFECT.

Dengan adanya perubahan fase terhadap waktu, maka besarnya arus yang ditimbulkan oleh efek ini adalah

$I=I_{0}sin\left({\frac {2eV}{\hbar }}t+\delta _{0}\right)$

Dari persamaan ini, terlihat arus yang ditimbulkan adalah arus AC (arus bolak balik). Dimana, frekuensi arusnya bisa ditulis

$\omega ={\frac {2eV}{\hbar }}$

Relasi frekuensi ini, menunjukkan bahwa terdapat energi photon sebesar $\hbar \omega =2eV$ yang teremsisi atau terabsorbsi (dilepaskan atau diserap) ketika elektron copper pairs melewati pembatas (junction).

3. Macroscopic Quantum Interference

Efek ini menjelaskan bahwa arus super (supercurrent) menunjukkan efek interferensi yang bergantung pada intensitas flux medan magnet.

Bayangkan terdapat dua Josephson Junction yang berada dalam kondisi parallel, sehingga terdapat dua buah jalur. Anggap dari jalur a , nilai beda fasenya adalah $\delta _{a}$, sedangkan di jalur b adalah $\delta _{b}$. Lalu, anggap juga tidak ada tegangan yang diberikan. Lalu, mari berikan flux magnet $\Phi$ memasuki rangkaian ini. Dengan demikian akan menimbulkan persamaan

$\displaystyle \delta _{b}-\delta _{a}={\frac {2e}{\hbar c}}\Phi$

Untuk masing – masing nilai $\delta _{a}$ dan $\delta _{b}$, diberikan dengan persamaan

$\displaystyle \delta _{b}=\delta _{0}+{\frac {e}{\hbar c}}\Phi$

$\displaystyle \delta _{a}=\delta _{0}-{\frac {e}{\hbar c}}\Phi$

Dengan demikian, arus total $J_{a}$ dan $J_{b}$, menjadi

$I_{t}ot=I_{0}\cdot \left(sin\left(\delta _{0}+{\frac {e}{\hbar c}}\Phi \right)+sin\left(\delta _{0}{\frac {e}{\hbar c}}\Phi \right)\right)=2\left(I_{0}sin(\delta _{0})\right)\cdot cos\left({\frac {e\Phi }{\hbar c}}\right)$

Maximum arusnya berada di ${\frac {e\Phi }{\hbar c}}=s\pi$ dan minimumnya di${\frac {e\Phi }{\hbar c}}={\frac {s\pi }{2}}$, dimana s adalah integer.

Dari persamaan inilah, terlihat bahwa arusnya berinterferensi , tergantung dari besarnya fluks magnetic $\Phi$. Hal ini menunjukkan adanya interferensi kuantum secara makroskopik dari perubahan arusnya.

k. Ginzburg - Landau Theory using Schrodinger Equation

$\displaystyle E\psi (x)=\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U\delta (x)\right)\psi (x)$

untuk $x<0:$

$E\psi (x)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (x)\to \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$

dengan $E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

untuk $\displaystyle x>0:$

$E\psi (x)=Ce^{+ikx}$

Kontinuitas:

$lim_{x\to 0}\psi _{x<0}(0)=\psi _{x>0}(0)$

$A+B=C\to B=C-A$

$\left[\displaystyle {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}{\frac {d^{2}\psi (x)}{d^{2}x}}dx={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{a}^{b}(U\delta (x)-E)\psi (x)dx$

misalkan $\displaystyle a\to 0^{-}$ dan $b\to 0^{+}$

maka, kita mengetahui dari persamaan sebelumnya menjadi:

$\displaystyle \psi '(0^{+})-\psi '(0^{-})={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\psi (0)$

Coba kita hitung dari kiri ke kanan:

$\displaystyle \psi (x<0)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\to \psi '(x<0)=ik(Ae^{ikx})-ik(Be^{-ikx})\to \psi '(0^{-})=ikA-ikB$

$\displaystyle \psi (x>0)=Ce^{ikx}\to \psi (x>0)=ik(Ce^{ikx})\to \psi '(0^{+})=ikC$

kita coba pakai kembali definisi fungsi gelombang dalam bentuk eksponensial

$ikC-\left(ikA-ikB\right)={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\cdot C$

$ik(C-A+B)={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\cdot C$

$(C-A+B)={\frac {2mU}{i\hbar ^{2}k}}\cdot C$

ingat kembali defisini tadi dimana $A+B=C\to B=C-A$

Maka, persamaannya menjadi:

$C-A+C-A={\frac {2mU}{i\hbar ^{2}k}}\cdot C$

$2C-2A={\frac {2mU}{i\hbar ^{2}k}}\cdot C$

$C-A={\frac {mU}{i\hbar ^{2}k}}\cdot C$

$\displaystyle A=\left(1+{\frac {mU}{i\hbar ^{2}k}}\right)\cdot C$

$\displaystyle {\frac {C}{A}}={\frac {1}{\left(1+{\frac {mU}{i\hbar ^{2}k}}\right)}}$

Persamaan Schrodinger:

$\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{-}\\\psi _{+}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV&k\\k&-eV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{-}\\\psi _{+}\end{pmatrix}}$

$\displaystyle \psi ={\sqrt {|\psi |^{2}}}e^{i\varphi }={\sqrt {n}}e^{i\varphi }$

$\displaystyle \to i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n}}e^{i\varphi _{+}}\\{\sqrt {n}}e^{i\varphi _{-}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV&k\\k&-eV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n}}e^{i\varphi _{+}}\\{\sqrt {n}}e^{i\varphi _{-}}\end{pmatrix}}$

$\displaystyle \to i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {n}}_{-}}{\sqrt {n_{-}}}}e^{i\varphi _{-}}+{\dot {i}}{\dot {\varphi }}_{-}{\sqrt {n_{-}}}e^{i\varphi _{-}}\\{\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {n}}_{+}}{\sqrt {n_{+}}}}e^{i\varphi _{+}}+{\dot {i}}{\dot {\varphi }}_{+}{\sqrt {n_{+}}}e^{i\varphi _{+}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV{\sqrt {n_{-}}}e^{i\varphi _{-}}+k{\sqrt {n_{+}}}e^{i\varphi _{+}}\\k{\sqrt {n_{-}}}e^{i\varphi _{-}}-eV{\sqrt {n_{+}}}e^{i\varphi _{+}}\end{pmatrix}}$

$\displaystyle \to {\begin{pmatrix}i\hbar {\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {n}}_{-}}{\sqrt {n_{-}}}}-\hbar {\dot {\varphi }}_{-}{\sqrt {n_{-}}}\\i\hbar {\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {n}}_{+}}{\sqrt {n_{+}}}}-\hbar {\dot {\varphi }}_{+}{\sqrt {n_{+}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV{\sqrt {n_{-}}}+k{\sqrt {n_{+}}}e^{i(\varphi _{+}-\varphi _{-})}\\k{\sqrt {n_{-}}}e^{i(\varphi _{-}-\varphi _{+})}-eV{\sqrt {n_{+}}}\end{pmatrix}}$

Tinjau Kolom Pertama atau yang atas:

a. Real:

$\displaystyle -\hbar {\dot {\varphi }}_{-}{\sqrt {n_{-}}}=eV{\sqrt {n_{-}}}+k{\sqrt {\frac {n_{+}}{n_{-}}}}cos({\varphi _{+}-\varphi _{-}})\to -\hbar {\dot {\varphi }}_{-}=eV+k{\sqrt {\frac {n_{+}}{n_{-}}}}cos({\varphi _{+}-\varphi _{-}})$

b. Imaginer

$\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}{\frac {{\dot {n}}_{-}}{\sqrt {n_{-}}}}=k{\sqrt {n_{+}\cdot n_{-}}}sin({\varphi _{+}-\varphi _{-}})$

Tinjau Kolom kedua atau yang bawah:

a. Real:

$\displaystyle -\hbar {\dot {\varphi }}_{-}{\sqrt {n_{+}}}=eV{\sqrt {n_{+}}}+k{\sqrt {\frac {n_{+}}{n_{-}}}}cos({\varphi _{+}-\varphi _{-}})\to -\hbar {\dot {\varphi }}_{-}=-eV+k{\sqrt {\frac {n_{+}}{n_{-}}}}cos({\varphi _{+}-\varphi _{-}})$

b. Imaginer

$\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}{\frac {{\dot {n}}_{-}}{\sqrt {n_{-}}}}=-k{\sqrt {n_{+}\cdot n_{-}}}sin({\varphi _{+}-\varphi _{-}})$

Dari persamaan - persamaan sebelumnya, kita menjadi tahu bahwa:

• ${\frac {\hbar }{2}}({\dot {n}}_{+}+{\dot {n}}_{-})=0\to CooperPairKekal$

• ${\frac {\hbar }{2}}({\dot {n}}_{+}-{\dot {n}}_{-})=-2k{\sqrt {n_{+}n_{-}}}sin({\varphi _{+}-\varphi _{-}})$

Kita review kembali persamaan Kontinuitas:

${\dot {n}}+\nabla \cdot j=0$

$\displaystyle \to I=-2e\int j\cdot dA=-2e\int \nabla \cdot jdV=-2e\int {\dot {n}}dV$

$\displaystyle \to {\frac {I}{V_{0}e}}=+4ek{\sqrt {n_{+}n_{-}}}sin({\varphi _{+}-\varphi _{-}})$

$\displaystyle \to {\frac {d}{dt}}(\varphi _{+}-\varphi _{-})={\frac {2e}{\hbar }}V+{\frac {k}{\hbar }}\left({\sqrt {\frac {n_{+}}{n_{-}}}}-{\sqrt {\frac {n_{-}}{n_{+}}}}\right)cos(\varphi _{+}-\varphi _{-})$

Beralih ke konsep Quantum Tunneling

$n_{+}\approx n_{-}$

Dengan menggunakan Persamaan Josephson:

$\displaystyle I=I_{critical}\cdot sin{\Delta \varphi }$

$\displaystyle {\frac {\partial \Delta \varphi }{\partial t}}={\frac {2e}{\hbar }}V(t)$

Asumsikan bahwa $V_{0}=\Delta \varphi ={\frac {2et}{\hbar }}V$

$\displaystyle {\frac {\partial \Delta \varphi }{\partial t}}={\frac {2e}{\hbar }}V\to V={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {\partial \Delta \varphi }{\partial t}}$

$V=L{\frac {dI}{dt}}\to Induktansi$

$\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {d\Delta \varphi I}{dt}}=cos\Delta \varphi$

$\displaystyle V={\frac {\hbar }{2e}}\cdot {\frac {1}{I_{c}cos\Delta \varphi }}$

• Jika tinjauannya pada Quantum Tunneling, kita dapat $V=RI$ yang merupakan definisi dari Resistansi berdasarkan hukum Ohm.

• Jika tinjauannya pada Josephson Current, kita dapat $V=L{\frac {dI}{dt}}$ yang merupakan definisi dari Induktansi berdasarkan hukum Ohm.

Dari persamaan Josephson, kita dapatkan:

$\displaystyle I=I_{c}cos\Delta \varphi$

$\displaystyle {\frac {\partial \Delta \varphi }{\partial t}}={\frac {2e}{\hbar }}V(t)$

$\displaystyle V={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {\partial \Delta \varphi }{\partial t}}\to {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\hbar \Delta \varphi }{2e}}\right)\to {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {h}{2e}}{\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}\right)\to {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Phi _{0}{\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}\right)$

Dengan $\Phi _{0}$ merupakan Kuantisasi Fluks