Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.
Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto
dotato di un'operazione binaria

tale che:
- esiste un elemento
, detto neutro, tale che
per ogni
;
- l'equazione
ha un'unica soluzione
.
Siano
un gruppo ed
un suo sottogruppo. Una sezione di
relativamente ad
è un'applicazione

dove
è la famiglia delle classi laterali sinistre di
modulo
, tale che:
è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
.
Inoltre l'immagine
della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di
. Va osservato che la 1. è equivalente alla condizione

dove
è la proiezione canonica del gruppo
sul quoziente
.
Siano
un gruppo,
un sottogruppo di
e
una sezione di
, allora
è un left loop rispetto l'operazione

Dimostrazione
L'identità
sta in
poiché esso è un trasversale di
, dunque basta far vedere che l'equazione sinistra

ha un'unica soluzione in
L'elemento
è una soluzione di (1), poiché

Supponiamo che

per qualche
, allora


Siano
un gruppo,
un sottogruppo ed
una sezione con
. Il left-loop definito su
rispetto l'operazione

è un loop se e solo se
è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo
,
.