Linearni operator

Linearni operator središnji je pojam u linearnoj algebri. To je preslikavanje između dva vektorska prostora nad istim poljem pri kojem je slika zbroja vektora jednaka zbroju njihovih slika, a slika skaliranog vektora jednaka slici vektora skaliranoj za isti iznos. Formalno, ako su $V$ i $W$ vektorski prostori nad poljem $\mathbb {F}$, preslikavanje $O:V\rightarrow W$ zvat će se linearnim operatorom ako ima svojstvo aditivnosti, $$O(v_{1}+v_{2})=O(v_{1})+O(v_{2})$$ i svojstvo homogenosti, $$O(\alpha \,v)=\alpha \,O(v)$$ za sve vektore $v$ iz $V$ i sve $\alpha$ iz $\mathbb {F}$.

Linearnost je objedinjeni naziv za aditivnost i homogenost.

Linearni operator ishodište (nulvektor) jednog vektorskog prostora uvijek preslikava u ishodište drugog prostora.

Primjeri linearnih operatora

Rotacija ravnine za kut $\phi$ je linearan operator, isto kao i projekcija vektora ravnine na prvu koordinatnu os. Manje geometrijski primjeri su operator deriviranja definiran na prostoru svih polinoma n-tog stupnja, kao i operator integriranja nad istim prostorom. Ako je kompozicija dvaju linearnih operatora definirana, ona je također linearan operator.

Matrični prikaz linearnog operatora

Matrica jest linearno preslikavanje baznih vektora nekog vektorskog prostora.

Realna $m\times n$ matrica $\mathbf {A}$ radi linearno preslikavanje $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$.

Primjera radi, sljedeća $2\times 2$ matrica

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ radi sljedeća $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ preslikavanja, ovisno o elementima matrice.

Horizontalno smicanje m = 1.25.	Refleksija oko vertikalne osi	Preslikavanje stiskanja with r = 3/2	Skaliranje s faktorom 3/2	Rotacija od π/6 = 30°
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}}$