Das Kurven- , Linien- , Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie ) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis ).
Den Weg , die Linie oder die Kurve , über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg .
Wegintegrale über geschlossene KurvenRingintegral , Umlaufintegral [ 1] Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol
∮
{\displaystyle \textstyle \oint }
Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld Das Wegintegral einer stetigen Funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
ist definiert als
∫
γ
f
d
s
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\,\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t.}
Dabei bezeichnet
γ
˙
{\displaystyle {\dot {\gamma }}}
γ
{\displaystyle \gamma }
t
{\displaystyle t}
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
{\displaystyle \|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}}
euklidische Norm des Vektors
γ
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
Die Bildmenge
C
:=
γ
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])}
glatte Kurve in
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Ein Beispiel für eine solche Funktion
f
{\displaystyle f}
Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten .
Ein Weg
γ
{\displaystyle \gamma }
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Für
f
≡
1
{\displaystyle f\equiv 1}
γ
{\displaystyle \gamma }
Der Weg
γ
{\displaystyle \gamma }
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
b
∈
R
{\displaystyle b\in \mathbb {R} }
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
γ
{\displaystyle \gamma }
nicht für die Zeit.
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
Differential .Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über den Weg
r
{\displaystyle r}
Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld
f
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus
f
∘
γ
{\displaystyle \mathbf {f} \circ \gamma }
γ
˙
{\displaystyle {\dot {\gamma }}}
∫
γ
f
(
x
)
⋅
d
x
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\!\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\!\mathbf {f} (\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t}
Sei
φ
:
[
c
,
d
]
→
[
a
,
b
]
{\displaystyle \varphi \colon [c,d]\to [a,b]}
γ
~
=
γ
∘
φ
:
[
c
,
d
]
→
R
n
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}=\gamma \circ \varphi \colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}
C
=
γ
(
[
a
,
b
]
)
=
γ
~
(
[
c
,
d
]
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}=\gamma ([a,b])={\tilde {\gamma }}([c,d])}
∫
γ
f
d
s
=
∫
γ
~
f
d
s
,
{\displaystyle \int _{\gamma }f\,\mathrm {d} s=\int _{\tilde {\gamma }}f\,\mathrm {d} s,}
∫
γ
f
⋅
d
x
=
±
∫
γ
~
f
⋅
d
x
,
{\displaystyle \int _{\gamma }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\pm \int _{\tilde {\gamma }}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ,}
wobei man in der letzten Gleichung auf der rechten Seite ein positives (negatives) Vorzeichen erhält, falls
φ
{\displaystyle \varphi }
Für Wegintegrale zweiter Art ist der Integralwert nur invariant unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen, d. h.
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
~
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
γ
(
a
)
=
γ
~
(
c
)
{\displaystyle \gamma (a)={\tilde {\gamma }}(c)}
γ
(
b
)
=
γ
~
(
d
)
{\displaystyle \gamma (b)={\tilde {\gamma }}(d)}
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
c
)
=
a
,
φ
(
d
)
=
b
{\displaystyle \varphi (c)=a,\varphi (d)=b}
Ist umgekehrt
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
c
)
=
b
{\displaystyle \varphi (c)=b}
φ
(
d
)
=
a
{\displaystyle \varphi (d)=a}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
γ
(
a
)
=
γ
~
(
d
)
{\displaystyle \gamma (a)={\tilde {\gamma }}(d)}
γ
(
b
)
=
γ
~
(
c
)
{\displaystyle \gamma (b)={\tilde {\gamma }}(c)}
c
=
a
{\displaystyle c=a}
d
=
b
{\displaystyle d=b}
φ
−
(
t
)
=
a
+
b
−
t
{\displaystyle \varphi ^{-}(t)=a+b-t}
γ
−
=
γ
∘
φ
−
{\displaystyle \gamma ^{-}=\gamma \circ \varphi ^{-}}
∫
γ
−
f
d
s
=
∫
γ
f
d
s
und
∫
γ
−
f
⋅
d
x
=
−
∫
γ
f
⋅
d
x
,
{\displaystyle \int _{\gamma ^{-}}f\,\mathrm {d} s=\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} s\quad {\text{und}}\quad \int _{\gamma ^{-}}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =-\int _{\gamma }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ,}
Umgekehrt sei
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
,
γ
~
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to {\mathcal {C}},{\tilde {\gamma }}\colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}
φ
:=
γ
−
1
∘
γ
~
:
[
c
,
d
]
→
[
a
,
b
]
{\displaystyle \varphi :=\gamma ^{-1}\circ {\tilde {\gamma }}\colon [c,d]\to [a,b]}
∫
γ
f
d
s
{\displaystyle \int _{\gamma }f\,\mathrm {d} s}
∫
γ
f
⋅
d
x
{\displaystyle \int _{\gamma }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }
γ
{\displaystyle \gamma }
Kurvenintegral und die Notation
∫
C
≡
∫
γ
{\displaystyle \int _{\mathcal {C}}\equiv \int _{\gamma }}
Da eine Kurve
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
γ
{\displaystyle \gamma }
Kurvenintegral 1. Art:
∫
C
f
d
s
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\!f\,\mathrm {d} s:=\int \limits _{a}^{b}\!f(\gamma (t))\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}
Kurvenintegral 2. Art:
∫
C
f
(
x
)
⋅
d
x
:=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} :=\int \limits _{a}^{b}\mathbf {f} (\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t}
Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch
γ
{\displaystyle \gamma }
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
L
a
¨
n
g
e
v
o
n
C
=
|
C
|
=
L
(
C
)
=
∫
C
d
s
=
∫
a
b
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
,
{\displaystyle \mathrm {L{\ddot {a}}nge\ von\ } {\mathcal {C}}=|{\mathcal {C}}|=L({\mathcal {C}})=\int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t,}
welche nach obigen Aussagen unabhängig von der Parametrisierung
γ
{\displaystyle \gamma }
Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck
d
s
=
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} s=\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}\,\mathrm {d} t}
heißt skalares Wegelement oder Längenelement . Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck
d
x
=
γ
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} ={\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t}
heißt vektorielles Wegelement .
Seien
∫
γ
f
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )}
∫
γ
g
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )}
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
α
{\displaystyle \alpha }
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in \mathbb {[} a,b]}
α
∫
γ
f
(
x
)
+
β
∫
γ
g
(
x
)
=
∫
γ
(
α
f
(
x
)
+
β
g
(
x
)
)
{\displaystyle \alpha \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \int \limits _{\gamma }\mathbf {g} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma }(\alpha \mathbf {f} (\mathbf {x} )+\beta \mathbf {g} (\mathbf {x} ))}
∫
γ
f
(
x
)
=
∫
γ
|
[
a
,
c
]
f
(
x
)
+
∫
γ
|
[
c
,
b
]
f
(
x
)
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma |_{[a,c]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\int \limits _{\gamma |_{[c,b]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )}
Seinen
γ
1
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma _{1}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
γ
2
:
[
c
,
d
]
→
R
n
{\displaystyle \gamma _{2}\colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}
γ
1
(
b
)
=
γ
2
(
c
)
{\displaystyle \gamma _{1}(b)=\gamma _{2}(c)}
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
γ
1
⊕
γ
2
:
[
a
,
b
+
d
−
c
]
→
R
n
,
t
→
(
γ
1
⊕
γ
2
)
(
t
)
:=
{
γ
1
(
t
)
,
für
a
≤
t
≤
b
γ
2
(
t
−
b
+
c
)
,
für
b
<
t
≤
b
+
d
−
c
{\displaystyle \gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\colon [a,b+d-c]\to \mathbb {R} ^{n},t\to (\gamma _{1}\oplus \gamma _{2})(t):={\begin{cases}\gamma _{1}(t),\quad &{\text{für}}\,a\leq t\leq b\\\gamma _{2}(t-b+c),\quad &{\text{für}}\,b<t\leq b+d-c\end{cases}}}
einen stückweise differenzierbaren Weg, der
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
(
γ
1
⊕
γ
2
)
⊕
γ
3
=
γ
1
⊕
(
γ
2
⊕
γ
3
)
(Assoziativität)
{\displaystyle (\gamma _{1}\oplus \gamma _{2})\oplus \gamma _{3}=\gamma _{1}\oplus (\gamma _{2}\oplus \gamma _{3})\quad {\text{(Assoziativität)}}}
(
γ
1
⊕
γ
2
)
−
=
γ
2
−
⊕
γ
1
−
{\displaystyle (\gamma _{1}\oplus \gamma _{2})^{-}=\gamma _{2}^{-}\oplus \gamma _{1}^{-}}
und man erhält auch hier Zerlegungsadditivität für beide Typen von Wegintegralen:
∫
γ
1
⊕
γ
2
f
d
s
=
∫
γ
1
f
d
s
+
∫
γ
2
f
d
s
{\displaystyle \int _{\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}}f\,\mathrm {d} s=\int _{\gamma _{1}}f\,\mathrm {d} s+\int _{\gamma _{2}}f\,\mathrm {d} s}
∫
γ
1
⊕
γ
2
f
⋅
d
x
=
∫
γ
1
f
⋅
d
x
+
∫
γ
2
f
⋅
d
x
{\displaystyle \int _{\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{\gamma _{1}}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} +\int _{\gamma _{2}}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }
Aus der Dreiecksungleichung für Integrale und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt die Dreiecksungleichung für Wegintegrale:
|
∫
γ
f
(
x
)
⋅
d
x
|
≤
∫
γ
‖
f
(
x
)
‖
2
d
s
≤
L
(
C
)
sup
x
∈
C
‖
f
(
x
)
‖
2
,
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \right|\leq \int _{\gamma }\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\right\|_{2}\,\mathrm {d} s\leq L({\mathcal {C}})\,\sup _{\mathbf {x} \in {\mathcal {C}}}\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\right\|_{2},}
wobei
C
=
γ
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}=\gamma ([a,b])}
γ
{\displaystyle \gamma }
L
(
C
)
{\displaystyle L({\mathcal {C}})}
|
∫
γ
f
(
x
)
d
s
|
≤
∫
γ
|
f
(
x
)
|
d
s
≤
L
(
C
)
sup
x
∈
C
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} s\right|\leq \int _{\gamma }\left|f(\mathbf {x} )\right|\,\mathrm {d} s\leq L({\mathcal {C}})\,\sup _{\mathbf {x} \in {\mathcal {C}}}\left|f(\mathbf {x} )\right|}
für Wegintegrale erster Art.
Ist
γ
{\displaystyle \gamma }
statt
∫
γ
{\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\gamma }}
∮
γ
{\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\gamma }}
und analog für geschlossene Kurven
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
statt
∫
C
{\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}}
∮
C
{\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\mathcal {C}}}
Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass
γ
{\displaystyle \gamma }
Ist
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Graph einer Funktion
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
,
t
↦
(
t
,
f
(
t
)
)
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))}
parametrisiert. Wegen
‖
γ
˙
(
t
)
‖
2
=
1
+
f
′
(
t
)
2
{\displaystyle \|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}={\sqrt {1+f'(t)^{2}}}}
ist die Länge der Kurve gleich
∫
C
d
s
=
∫
a
b
1
+
f
′
(
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}
Eine Ellipse mit großer Halbachse
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
∫
0
2
π
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
d
t
=
4
a
∫
0
π
2
1
−
ε
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}t}}\;\mathrm {d} t}
Dabei bezeichnet
ε
{\displaystyle \varepsilon }
numerische Exzentrizität
1
−
b
2
/
a
2
{\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}
elliptisches Integral bezeichnet. Ist ein Vektorfeld
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
Gradientenfeld
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
Gradient eines skalaren Feldes
V
{\displaystyle V}
∇
V
=
F
{\displaystyle \mathbf {\nabla } V=\mathbf {F} }
so gilt für die Ableitung der Verkettung von
V
{\displaystyle V}
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
d
d
t
V
(
r
(
t
)
)
=
∇
V
(
r
(
t
)
)
⋅
r
˙
(
t
)
=
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
˙
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))=\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)}
was gerade dem Integranden des Wegintegrals über
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
∫
S
F
(
x
)
⋅
d
x
=
∫
a
b
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
˙
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
d
t
V
(
r
(
t
)
)
d
t
=
V
(
r
(
b
)
)
−
V
(
r
(
a
)
)
.
{\displaystyle \int \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))\,\mathrm {d} t=V(\mathbf {r} (b))-V(\mathbf {r} (a)).}
Zwei beliebige Kurven
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}1}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}2}
Dies bedeutet, dass das Integral von
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
r
(
b
)
{\displaystyle \mathbf {r} (b)}
r
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {r} (a)}
Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
∮
S
F
(
x
)
d
x
=
∫
1
,
S
1
2
F
(
x
)
d
x
+
∫
2
,
S
2
1
F
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \oint \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{1,{\mathcal {S}}_{1}}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} +\int \limits _{2,{\mathcal {S}}_{2}}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =0}
Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld
V
{\displaystyle V}
Potential oder die potentielle Energie . Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.
Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen und gilt im Allgemeinen nur auf einfach zusammenhängenden Gebieten bzw. nur zwischen zueinander homotopen Kurven
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
Die Kurve
γ
{\displaystyle \gamma }
z
0
{\displaystyle z_{0}}
Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
Algebraische Topologie: Methodik ).
Ist
f
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {C} }
komplexwertige Funktion , dann nennt man
f
{\displaystyle f}
Re
f
{\displaystyle \operatorname {Re} f}
Im
f
{\displaystyle \operatorname {Im} f}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
:=
∫
a
b
Re
f
(
x
)
d
x
+
i
∫
a
b
Im
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x:=\int \limits _{a}^{b}\operatorname {Re} f(x)\mathrm {d} x+\mathrm {i} \int \limits _{a}^{b}\operatorname {Im} f(x)\mathrm {d} x}
Das Integral ist damit
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}
Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist
f
:
U
→
C
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }
Gebiet
U
⊆
C
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }
γ
:
[
0
,
1
]
→
U
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to U}
Weg in
U
{\displaystyle U}
Wegintegral von
f
{\displaystyle f}
entlang des Weges
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
γ
f
:=
∫
γ
f
(
z
)
d
z
:=
∫
0
1
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
˙
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }f:=\int \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z:=\int \limits _{0}^{1}f(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}
Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation.
Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz : Für eine holomorphe Funktion
f
{\displaystyle f}
Homotopieklasse von
γ
{\displaystyle \gamma }
U
{\displaystyle U}
einfach zusammenhängend , so hängt das Integral also überhaupt nicht von
γ
{\displaystyle \gamma }
Definiert man
U
~
:=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
x
+
i
y
∈
U
}
⊂
R
2
,
{\displaystyle {\tilde {U}}:=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+iy\in U\right\}\subset \mathbb {R} ^{2},}
f
~
:
U
~
→
R
2
,
(
x
,
y
)
→
f
~
(
x
,
y
)
:=
(
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
:=
(
ℜ
f
(
x
+
i
y
)
,
ℑ
f
(
x
+
i
y
)
)
{\displaystyle {\tilde {f}}:{\tilde {U}}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,y)\rightarrow {\tilde {f}}(x,y):=\left(u(x,y),v(x,y)\right):=\left(\Re {f(x+iy)},\Im {f(x+iy)}\right)}
γ
~
:
[
0
,
1
]
→
U
~
,
t
→
γ
~
(
t
)
:=
(
α
(
t
)
,
β
(
t
)
)
:=
(
ℜ
γ
(
t
)
,
ℑ
γ
(
t
)
)
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\rightarrow {\tilde {U}},t\rightarrow {\tilde {\gamma }}(t):=\left(\alpha (t),\beta (t)\right):=\left(\Re {\gamma (t)},\Im {\gamma (t)}\right)}
als reelle Entsprechungen von
U
{\displaystyle U}
f
{\displaystyle f}
γ
{\displaystyle \gamma }
u
,
v
:
U
~
→
R
{\displaystyle u,v:{\tilde {U}}\rightarrow \mathbb {R} }
α
,
β
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
γ
{\displaystyle \gamma }
∫
γ
f
(
z
)
d
z
=
∫
0
1
f
(
γ
(
t
)
)
⋅
γ
˙
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
[
u
(
γ
~
(
t
)
)
+
i
v
(
γ
~
(
t
)
)
]
⋅
[
α
˙
(
t
)
+
i
β
˙
(
t
)
]
d
t
=
∫
0
1
u
(
γ
~
(
t
)
)
α
˙
(
t
)
−
β
˙
(
t
)
v
(
γ
~
(
t
)
)
d
t
+
i
∫
0
1
v
(
γ
~
(
t
)
)
α
˙
(
t
)
+
β
˙
(
t
)
u
(
γ
~
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
(
u
(
γ
~
(
t
)
)
−
v
(
γ
~
(
t
)
)
)
⋅
γ
~
(
t
)
d
t
+
i
∫
0
1
(
v
(
γ
~
(
t
)
)
u
(
γ
~
(
t
)
)
)
⋅
γ
~
(
t
)
d
t
=
∫
γ
~
g
(
x
)
⋅
d
x
+
i
∫
γ
~
h
(
x
)
⋅
d
x
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=&\int \limits _{0}^{1}f(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{1}\left[u({\tilde {\gamma }}(t))+iv({\tilde {\gamma }}(t))\right]\cdot \left[{\dot {\alpha }}(t)+i{\dot {\beta }}(t)\right]\,\mathrm {d} t\\=&\int \limits _{0}^{1}u({\tilde {\gamma }}(t)){\dot {\alpha }}(t)-{\dot {\beta }}(t)v({\tilde {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t+i\int \limits _{0}^{1}v({\tilde {\gamma }}(t)){\dot {\alpha }}(t)+{\dot {\beta }}(t)u({\tilde {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t\\=&\int \limits _{0}^{1}{\begin{pmatrix}u({\tilde {\gamma }}(t))\\-v({\tilde {\gamma }}(t))\end{pmatrix}}\cdot {\tilde {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t+i\int \limits _{0}^{1}{\begin{pmatrix}v({\tilde {\gamma }}(t))\\u({\tilde {\gamma }}(t))\end{pmatrix}}\cdot {\tilde {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t\\=&\int \limits _{\tilde {\gamma }}\mathbf {g} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} +i\int \limits _{\tilde {\gamma }}\mathbf {h} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ,\end{aligned}}}
wobei im letzten Schritt die Vektorfelder
g
:
U
~
→
R
2
,
x
=
(
x
,
y
)
→
g
(
x
,
y
)
:=
(
u
(
x
,
y
)
−
v
(
x
,
y
)
)
,
h
:
U
~
→
R
2
,
x
=
(
x
,
y
)
→
h
(
x
,
y
)
:=
(
v
(
x
,
y
)
u
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \mathbf {g} :{\tilde {U}}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} =(x,y)\rightarrow \mathbf {g} (x,y):={\begin{pmatrix}u(x,y)\\-v(x,y)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {h} :{\tilde {U}}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} =(x,y)\rightarrow \mathbf {h} (x,y):={\begin{pmatrix}v(x,y)\\u(x,y)\end{pmatrix}}}
eingeführt wurden. Das heißt das Wegintegral einer komplexen Funktion kann auch als Summe zweier reellen Wegintegrale zweiter Art dargestellt werden.
Aus der letzten Darstellung folgt auch unmittelbar der Cauchysche Integralsatz , denn für eine holomorphe Funktion
f
{\displaystyle f}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen . Da diese äquivalent zur Integrabilitätsbedingungen von
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
h
{\displaystyle \mathbf {h} }
f
{\displaystyle f}
homotopen Wegänderungen
γ
1
→
γ
2
{\displaystyle \gamma _{1}\rightarrow \gamma _{2}}
Eigenschaften wie Linearität, Zerlegungsadditivität und Invarianz unter Umparametrisierung folgen nach der letzten Darstellung direkt aus den entsprechenden Beziehungen für reelle Kurvenintegrale.
Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges
γ
{\displaystyle \gamma }
L
(
γ
)
:=
∫
0
1
|
γ
˙
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \operatorname {L} (\gamma ):=\int \limits _{0}^{1}\left|{\dot {\gamma }}(t)\right|\mathrm {d} t}
Auch für komplexe Kurvenintegrale gilt die Dreiecksungleichung
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
|
≤
∫
γ
~
‖
f
~
(
x
,
y
)
‖
2
d
s
(
x
,
y
)
≤
L
(
γ
)
⋅
sup
z
∈
γ
(
[
0
,
1
]
)
|
f
(
z
)
|
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\right|\leq \int _{\tilde {\gamma }}\left\|{\tilde {f}}(x,y)\right\|_{2}\,\mathrm {d} s(x,y)\leq \operatorname {L} (\gamma )\cdot \sup _{z\in \gamma ([0,1])}\left|f(z)\right|}
Das zweite Integral ist dabei ein zweidimensionales, reelles Wegintegral erster Art, wobei
f
~
{\displaystyle {\tilde {f}}}
γ
~
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}}
f
{\displaystyle f}
γ
{\displaystyle \gamma }
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
|
≤
C
⋅
L
(
γ
)
mit
C
=
sup
z
∈
γ
(
[
0
,
1
]
)
|
f
(
z
)
|
<
∞
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\right|\leq C\cdot \operatorname {L} (\gamma )\quad {\text{mit}}\quad C=\sup _{z\in \gamma ([0,1])}\left|f(z)\right|<\infty }
wird als Standardabschätzung bezeichnet und ist vor allem für theoretische Zwecke von besonderer Bedeutung.
Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges
γ
{\displaystyle \gamma }
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
γ
{\displaystyle \gamma }
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Harro Heuser : Lehrbuch der Analysis – Teil 2 . 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0 . S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.
↑ Klaus Knothe , Heribert Wessels: Finite Elemente . Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1 , S. 524 .
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3949e127cdd1af020b06369df1a0b89d588f0fdf)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}:=\gamma ([a,b])}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c06a78cd9273fcda8cae99f24809f37c02ac3aa)
![{\displaystyle t\in [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
![{\displaystyle \varphi \colon [c,d]\to [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/7755798c314c7aae22d08f6ef786e664efc56305)
![{\displaystyle {\tilde {\gamma }}=\gamma \circ \varphi \colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/624ea14d42a7b8bf0baee2d5f460a1f1428c0731)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\gamma ([a,b])={\tilde {\gamma }}([c,d])}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d937384f0339004697c59ba80ad63ceb9ad2417e)
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to {\mathcal {C}},{\tilde {\gamma }}\colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cdb25ca6fc1488a930890c89b5153a6677ba6f)
![{\displaystyle \varphi :=\gamma ^{-1}\circ {\tilde {\gamma }}\colon [c,d]\to [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9584c862d5182f8cfbd29498d9d72b6e099b1069)
![{\displaystyle c\in \mathbb {[} a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/004ce9da3bae0be8bcfb7d2f935222f9aa5beb7b)
![{\displaystyle \int \limits _{\gamma }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\int \limits _{\gamma |_{[a,c]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )+\int \limits _{\gamma |_{[c,b]}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/740d3fb15ff4ed350b3669107d382f361128be1d)
![{\displaystyle \gamma _{1}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe74f982f85a4808c063c00bf11b5aca56071a9c)
![{\displaystyle \gamma _{2}\colon [c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/843291c2fe342e4f1ce0a5837d6a53f0669ab8cf)
![{\displaystyle \gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\colon [a,b+d-c]\to \mathbb {R} ^{n},t\to (\gamma _{1}\oplus \gamma _{2})(t):={\begin{cases}\gamma _{1}(t),\quad &{\text{für}}\,a\leq t\leq b\\\gamma _{2}(t-b+c),\quad &{\text{für}}\,b<t\leq b+d-c\end{cases}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/e541c1e3a00c36d2bb1f14f39bbf8f9f9fa4b284)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\gamma ([a,b])}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/44702dc452c91620a8126438431934c3f765788d)
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b591f93bbad3236668167ecb696b84bcde376e3)
![{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbc9ed8510c75442ce1d2e73f021258fc7e04c6)
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {C} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aee34c4a1b4ae953e254f63603fd259144c931f)
![{\displaystyle [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to U}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/515676e0495556bff0e4b2cc0c8ba8f325f1bfae)
![{\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\rightarrow {\tilde {U}},t\rightarrow {\tilde {\gamma }}(t):=\left(\alpha (t),\beta (t)\right):=\left(\Re {\gamma (t)},\Im {\gamma (t)}\right)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3bcb75659a73544e2ee1e0032563e5a02acf30)
![{\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9272beeb262266d1189cf33cb46f0bbef894dc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=&\int \limits _{0}^{1}f(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{1}\left[u({\tilde {\gamma }}(t))+iv({\tilde {\gamma }}(t))\right]\cdot \left[{\dot {\alpha }}(t)+i{\dot {\beta }}(t)\right]\,\mathrm {d} t\\=&\int \limits _{0}^{1}u({\tilde {\gamma }}(t)){\dot {\alpha }}(t)-{\dot {\beta }}(t)v({\tilde {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t+i\int \limits _{0}^{1}v({\tilde {\gamma }}(t)){\dot {\alpha }}(t)+{\dot {\beta }}(t)u({\tilde {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t\\=&\int \limits _{0}^{1}{\begin{pmatrix}u({\tilde {\gamma }}(t))\\-v({\tilde {\gamma }}(t))\end{pmatrix}}\cdot {\tilde {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t+i\int \limits _{0}^{1}{\begin{pmatrix}v({\tilde {\gamma }}(t))\\u({\tilde {\gamma }}(t))\end{pmatrix}}\cdot {\tilde {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t\\=&\int \limits _{\tilde {\gamma }}\mathbf {g} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} +i\int \limits _{\tilde {\gamma }}\mathbf {h} (\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ,\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68b6513e15f49920dbb4fc7ac3bc6a60aae1805)
![{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\right|\leq \int _{\tilde {\gamma }}\left\|{\tilde {f}}(x,y)\right\|_{2}\,\mathrm {d} s(x,y)\leq \operatorname {L} (\gamma )\cdot \sup _{z\in \gamma ([0,1])}\left|f(z)\right|}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1adb00794d9d2174c39c1f5d1533f8395eef371)
![{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\right|\leq C\cdot \operatorname {L} (\gamma )\quad {\text{mit}}\quad C=\sup _{z\in \gamma ([0,1])}\left|f(z)\right|<\infty }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e0aca3c9e281722b781016c76fa2709547ed47)
![{\displaystyle [0,1]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
