Halimbawa sa dalawang sambagayan o populasyong may parehong tamtaman (100) nguni't magkaibang alig. Katumbas sa 100 (SD=10) ang alig ng pulang sambagayan, samantala; katumbas naman sa 2500 (SD=50) ang alig ng sambagayang bughaw. Nangangahulugang standard deviation (pamantayang liwas) ang akronim na SD. Sa teorya ng probabilidad at estadistika , ang alig [ 1] Ingles : variance ), na kinakatawan ng simbolong σ2 , ay isang sukat ng kakalatan ng isang alisagang aliging
X
{\displaystyle X}
inaasahang halaga ng parirami ng liwas buhat sa tamtamang
E
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X)}
E
[
X
−
E
(
X
)
]
2
{\displaystyle \operatorname {E} [X-\operatorname {E} (X)]^{2}}
pariugat nito, makukuha naman ang pamantayang liwas , na isa ring sukat ng kakalatan. Dinadaglat din minsan bilang
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
V
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {V} (X)}
Itinuturing ang alig ng isang alisagang aliging
X
{\displaystyle X}
inaasahang halaga ng parirami ng liwas buhat sa tamtamang
μ
{\displaystyle \mu }
σ
2
=
E
(
X
−
E
(
X
)
]
2
.
{\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X-\operatorname {E} (X)]^{2}.}
Var
(
X
)
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
=
E
[
X
2
−
2
X
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
]
=
E
[
X
2
]
−
2
E
[
X
]
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
=
E
[
X
2
]
−
2
E
[
X
]
2
+
E
[
X
]
2
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}
[ 2]
Kung may nakaugnay na probabilidad sa bawa't halaga ng alisagang aliging
X
{\displaystyle X}
x
1
↦
p
1
,
x
2
↦
p
2
,
…
,
x
N
↦
p
N
{\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{N}\mapsto p_{N}}
Var
(
X
)
=
∑
i
=
1
N
p
i
⋅
(
x
i
−
μ
)
2
,
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},}
kung saan
μ
{\displaystyle \mu }
inaasahang halaga o
μ
=
∑
i
=
1
N
p
i
x
i
.
{\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}
[ 3]
Maisusulat din ang alig ng katipunan ng halagang
x
1
,
x
2
,
x
3
.
.
.
x
N
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}...x_{N}}
Var
(
X
)
=
1
N
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
μ
)
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}
kung saan
μ
{\displaystyle \mu }
tamtaman ng mga datos
μ
=
1
N
∑
i
=
1
N
x
i
.
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.}
Isa itong natatanging kalagayan ng probabilidad ng isang hiwalaying alisagang aligin.
Kung may nauulit na halaga sa
x
1
,
x
2
,
x
3
.
.
.
x
N
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}...x_{N}}
f
{\displaystyle f}
freuqency (dalas). Samakatuwid, kung may nauugnay na dalas
f
k
{\displaystyle f_{k}}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
x
1
↦
f
1
,
x
2
↦
f
2
,
…
,
x
N
↦
f
N
{\displaystyle x_{1}\mapsto f_{1},x_{2}\mapsto f_{2},\ldots ,x_{N}\mapsto f_{N}}
tumbasan para sa alig sa itaas bilang
Var
(
X
)
=
∑
i
=
1
N
f
i
(
x
i
−
μ
)
2
∑
i
=
1
N
f
i
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{N}f_{i}}}}
kung saan
μ
=
∑
i
=
1
N
f
i
x
i
∑
i
=
1
N
f
i
.
{\displaystyle \mu ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}f_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{N}f_{i}}}.}
at binibilang ang bawa't
x
k
{\displaystyle x_{k}}
↑ "alig": Del Rosario, Gonsalo (1969). Salcedo, Juan (pat.). Maugnaying Talasalitaang Pang-agham Ingles-Pilipino
↑ Hogg, Robert V. (2015). Probability and Statistical Inference Kalagmitan at Palaulating Hinuha ] (PDF) (ika-9 (na) edisyon). Estados Unidos: Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-92327-1 . Nakuha noong 18 Mayo 2025 . ↑ Arceo, Virginia R. (2018). Math in Today's World: Statistics and Probability [Sipnayan sa Kasulukuyang Daigdig: Palaulatan at Kalagmitan ]. Lungsod ng Quezon: Phoenix Publishing House, Inc. p. 48.
Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong . Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig
![{\displaystyle \operatorname {E} [X-\operatorname {E} (X)]^{2}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c37aee465c9ad1c15bd33974f7893f75808551d)
![{\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X-\operatorname {E} (X)]^{2}.}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/928071e18cc55a8142a783efabc7ef88a170e31c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/585a9f8a8fef3eadeae1fffda36eaafb13d2fbcf)
Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.