Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Hyperkoule je v geometrii zobecnění kruhu a koule do vícerozměrného (
n
>
3
{\displaystyle n>3}
středu ) vzdálenost menší nebo rovnu poloměru
r
{\displaystyle r}
Povrch hyperkoule v
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
varietu , která se nazývá (n−1)-sféra a značí se standardně
S
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}
3-sféra ).
Objem [ujasnit
n
{\displaystyle n}
r
{\displaystyle r}
V
n
(
r
)
=
∫
−
r
r
V
n
−
1
(
r
2
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle V_{n}(r)=\int _{-r}^{r}V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})\,\mathrm {d} x}
kde
V
2
(
r
)
=
π
r
2
{\displaystyle V_{2}(r)=\pi r^{2}}
kruhu o poloměru
r
{\displaystyle r}
V
n
=
r
n
∏
k
=
1
n
π
Γ
(
k
+
1
2
)
Γ
(
k
2
+
1
)
=
r
n
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
,
{\displaystyle V_{n}=r^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=r^{n}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}
kde
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
funkce gama .
Tento vzorec lze zjednodušit rozepsáním na liché a sudé počty rozměrů. Pro liché
n
=
2
k
+
1
{\displaystyle n=2k+1}
V
2
k
+
1
=
V
n
liché
=
r
n
π
n
−
1
2
2
n
+
1
2
n
!
!
=
r
2
k
+
1
π
k
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
!
,
{\displaystyle V_{2k+1}=V_{n}^{\text{liché}}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}=r^{2k+1}{\frac {\pi ^{k}2^{k+1}}{(2k+1)!!}},}
pro sudé
n
=
2
k
{\displaystyle n=2k}
V
2
k
=
V
n
sudé
=
r
n
π
n
2
(
n
2
)
!
=
r
2
k
π
k
k
!
.
{\displaystyle V_{2k}=V_{n}^{\text{sudé}}=r^{n}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}=r^{2k}{\frac {\pi ^{k}}{k!}}.}
Povrch
n
{\displaystyle n}
derivací objemu podle
r
{\displaystyle r}
S
n
=
n
r
n
−
1
∏
k
=
1
n
π
Γ
(
k
+
1
2
)
Γ
(
k
2
+
1
)
=
n
r
n
−
1
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle S_{n}=nr^{n-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}+1\right)}}=nr^{n-1}{\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}
Tento vzorec lze opět zjednodušit, pro liché
n
=
2
k
+
1
{\displaystyle n=2k+1}
S
2
k
+
1
=
S
n
liché
=
n
r
n
−
1
π
n
−
1
2
2
n
+
1
2
n
!
!
=
(
2
k
+
1
)
r
2
k
π
k
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
!
,
{\displaystyle S_{2k+1}=S_{n}^{\text{liché}}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}=(2k+1)r^{2k}{\frac {\pi ^{k}2^{k+1}}{(2k+1)!!}},}
pro sudé
n
=
2
k
{\displaystyle n=2k}
S
2
k
=
S
n
sudé
=
n
r
n
−
1
π
n
2
(
n
2
)
!
=
2
k
r
2
k
−
1
π
k
k
!
.
{\displaystyle S_{2k}=S_{n}^{\text{sudé}}=nr^{n-1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}=2kr^{2k-1}{\frac {\pi ^{k}}{k!}}.}
