Logaritmo complexo

Unha rama do logaritmo complexo. O ton da cor úsase para amosar o argumento do logaritmo complexo. O brillo da cor úsase para amosar o módulo do logaritmo complexo.

. A súa gráfica obtense rotando a gráfica de ln(x) ao redor do eixo OZ.

En matemáticas, un logaritmo complexo é unha xeneralización do logaritmo natural aos números complexos non nulos. O termo pode referirse a un dos seguintes conceptos, que están estreitamente relacionados:

• Un logaritmo complexo dun número complexo non nulo $z$, definido como calquera número complexo $w$ tal que $e^{w}=z$. Tal número $w$ denótase por $\log z$. Se $z$ se expresa en forma polar como $z=re^{i\theta }$, onde $r$ e $\theta$ son números reais con $r>0$, entón $\ln r+i\theta$ é un logaritmo de $z$, e todos os logaritmos complexos de $z$ son exactamente os números da forma $\ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)$, para enteiros $k$. Estes logaritmos están equidistantes ao longo dunha liña vertical no plano complexo.

• Unha función con valores complexos $\log \colon U\to \mathbb {C}$, definida nun subconxunto $U$ do conxunto $\mathbb {C} ^{*}$ dos números complexos non nulos, e que cumpre $e^{\log z}=z$ para todo $z$ en $U$. Tales funcións logarítmicas complexas son análogas á función logarítmica natural real $\ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}$, que é a función inversa da función exponencial real e cumpre e^{ln x} = x para todo número real positivo x. As funcións logarítmicas complexas poden construírse mediante fórmulas explícitas que empregan funcións reais, por integración de $1/z$, ou mediante o proceso de prolongamento analítico.

Non existe ningunha función continua logarítmica complexa definida en todo $\mathbb {C} ^{*}$. As maneiras de tratar esta cuestión inclúen o uso de ramas, a superficie de Riemann asociada e as inversas parciais da función exponencial complexa. O valor principal define unha función logarítmica complexa particular $\operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C}$ que é continua agás ao longo do eixe real negativo; no plano complexo cos números reais negativos e o cero eliminados, constitúe o prolongamento analítico do logaritmo natural (real).

Véxase tamén

Bibliografía

• Ahlfors, Lars V. (1966). Complex Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill. 
• Sarason, Donald (2007). Complex Function Theory (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 9780821886229.