Diffraksjon

Diffraksjon er avbøyning av bølger når de utbrer seg nær en hindring eller gjennom en åpning. Dette kan observeres på overflaten av vann eller ved at lyd beveger seg rundt hushjørner. I kvantemekanikken kan partikler beskrives som materiebølger og vil derfor gi opphav til diffraksjon. Dette benyttes for eksempel i elektronmikroskopet.

Mest studert er fenomenet i forbindelse med utbredelse av lys som består av elektromagnetiske bølger. Diffraksjon av slike bølger gir dermed opphav til korreksjoner av geometrisk optikk. De kan man for eksempel se ved at kantene av skygger ikke er helt skarpe.

Navnet til dette optiske fenomenet stammer fra det latinske ordet diffringere som betyr å splitte opp. Det ble gitt av den italienske naturviter Francesco Maria Grimaldi som på midten 1600-tallet undersøkte egenskaper ved lysets utbredelse. På slutten av århundret omtalte Isaac Newton forskjellige manifestasjoner av slik avbøyning i sitt store verk Opticks selv om han samtidig argumenterte for at lys besto av en strøm med små partikler som han kalte korpuskler.

Det første bevis på at lys måtte være en bølgebevegelse, ble etablert på begynnelsen av 1800-tallet av Thomas Young i hans dobbeltspalteeksperiment. Han kunne forklare det karakteristiske mønsteret som der forekommer, ved at to bølger kan kombineres ved interferens. Med denne bakgrunnen utviklet Augustin Fresnel kort tid etterpå en full teori for diffraksjon basert på Huygens prinsipp. Den har siden vært i bruk frem til vår tid med små modifikasjoner.

Begrepene interferens og diffraksjon blir ofte benyttet om hverandre. Mer korrekt benevning er å benytte interferens når kun et lite antalll, lokaliserte bølger bidrar til fenomenet. Diffraksjon oppstår ved et samspill mellom uendelig mange bølger. Spredning av lys gjennom svært smale spalter vil da kunne omtales som interferens, mens spredning fra spalter som er mye bredere enn lysets bølgelengde, vil være diffraksjon.

Teoretisk grunnlag

Omtrent alle diffraksjonsfenomen med lys kan forklares ved å anta at det består av skalare bølger istedenfor vektorfelt beskrevet ved Maxwells ligninger. Det er bare nødvendig de sjeldne ganger der man må ta hensyn til dets polarisasjon.

Denne antagelsen ligger også till grunn for at Huygens prinsipp kan formuleres så enkelt. I sin opprinnelige form sier det at en lysbølge i en viss retning kan beskrives ved en bølgefront som er en flate med normalvektor som peker i bølgens bevegelsesretning. Hvert punkt på denne flaten har samme fase og gir opphav til kulebølger som sendes samtidig ut i alle retninger. Ved et senere tidspunkt fremkommer den nye bølgefronten som omhyllingsflaten eller «envelopen» til alle disse sekundærbølgene.^[1]

Fresnel modifiserte denne opprinnellige formuleringen av prinsippet til å si at den resulterende bølgefronten ikke fremkommer på denne geometriske måten, men oppstår ved interferens mellom de sekundære kulebølgene. Uavklart var likevel hvordan de fiktive punktene på en antatt bølgefront kunne sende ut lys.

Selv om det er på denne formen at prinsippet fremdeles blir anvendt, fikk det først en fysisk begrunnelse vel femti år seinere av Gustav Kirchhoff etter at Maxwells elektromagnetiske teori for lyset var etablert. Han studerte en ekvivalent, skalar bølgeligning der han tok nøye hensyn til grensebetingelsene i form av en omsluttende flate eventuelt med ulike åpninger som begrenser bølgens utbredelse. Dette rent matematiske studiet førte frem til den opprinnelige formuleringen til Huygens og Fresnel bortsett fra en retningsavhengig korreksjon til sekundærbølgenes utbredelse. Denne er lite vesentlig og blir vanligvis utelatt.^[2]

Enkeltspalte

De viktigste egenskapene ved diffraksjon kan observeres når lys går gjennom en spalte. Når dens bredde a er av samme størrelsesorden som lysets bølgelengden λ, vil det spredes jevnt i alle retninger som sylinderbølger. Men når bredden øker, vil det opptre mørke og lyse, parallelle striper bak spalten. Dette er det karakteristiske diffraksjonsmønsteret i dette tilfellet. Blir bredden ytterligere øket, vil man i stedet se en lysende flate med smalere diffraksjonsstriper nær kantene til de to geometriske skyggene.^[2]

Det er enklest å anta at lyset kommer vinkelrett inn mot spalten som en plan bølge

E(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)

når den beveger seg langs x-aksen. Her er bølgetallet k = 2π /λ og vinkelfrekvensen ω = kc der c er lyshastigheten. Ved eet visst tidspunkt vil en slik bølgefront fylle spalteåpningen AC og sende ut sekundære bølger. Samspillet mellom disse kan nå observeres bak spalten og gi opphav til diffraksjonmønstret. Hvis det blir betraktet langt unna, kan retningen til observasjonspunktet angis ved en vinkel θ.

De mørke stripene opptrer de hvor alle sekundærbølgene gjensidig slukker hverandre ut ved destrruktiv interferens. Det skjer når bølgen fra punkt A slukker ut den fra B, bølgen fra punktet like under A slukker ut den fra punktet like under B og så videre. Da må faseforskjellen mellom hvert slikt par være en halv bølgelengde, det vil si avbøyningsvinkelen må opppfylle

{a \over 2}\sin \theta _{1}={\lambda  \over 2}

Første minimum i diffraksjonsmønstret er derfor gitt ved sinθ₁ = λ/a. Det befinner seg på hver side av et lysende maksimum i fremoverretning θ = 0. Neste minimum kan finnes fra samme argument ved å dele spalten opp i fire deler som gjensidig slukker hverandre ut. Generelt kan man dele den opp i 2m like store stykker med m = 1, 2, 3 og så videre. Det gir vinklene

\sin \theta _{m}=m{\lambda  \over a}

for mørke striper. Man forventer seg lokale maksima eller lysende striper mellom disse selv om de ikke kan bestemmes like enkelt. For en svært bred spalte a >> λ ligger disse så tett at de er vanskelige å observere. Det betyr at for grønt lys med bølgelengde λ = 500 nm må spalten ha en bredde a < 1 mm for at disse skal bli synlige.^[3]

Intensitet

Sammenlignet med sekundærbølgen som går ut fra spaltens midtpunkt, vil én som går ut fra et punkt som ligger en avstand y over dette, ankomme observasjonspunktet med en faseforskjell som er y sinθ. Den totale eller resulterende amplitude fremkommer ved å addere alle disse bidragene fra hele spalten. Det kan gjøres grafisk ved bruk av fasevektorer på samme måte som for optisk gitter og så benytte dette resultatet i den kontinuerlige grensen der de diskrete punktene går over til en åpen spalte.

En alternativ fremgangsmåte er å ta den kontinuerlige grensen først. Da går summen over til integralet

{\begin{aligned}E_{L}(t,\theta )&={E_{0} \over L}\int _{-a/2}^{a/2}\!dy\cos(kL+ky\sin \theta -\omega t)\\&=2E_{0}{\sin(ka\sin \theta /2) \over kL\sin \theta }\cos(kL-\omega t)\end{aligned}}

Grafisk fremstilling av intensiteten fra en enkeltsspalte som funksjon av vinkelen θ.

der L er avstanden til observasjonspunktet når spalten er plassert i x = 0 og amplltuden er antatt å avta som 1/x. Når man ser bort fra den oscillerende, siste faktoren og innfører k = 2π /λ , vil den observerte intensiteten dermed variere som

I(\theta )=I_{0}\left({\sin u \over u}\right)^{2}

når den uttrykkes ved den nye variable u = π (a/λ) sinθ. Her er I₀ intensiteten i fremoverrretning θ = 0 da sinu/u = 1 i grensen der u → 0.

I tillegg til dette maksimum i intensiteten, har den lokale minima der sin u = 0 for u > 0. Det skjer for u = mπ der m = 1, 2, 3 og så videre. Ved de tilsvarende vinklene sinθ_m = m(λ/a) er derfor intensiteten null og observeres som mørke striper.

Etter hovedmaksimum i fremoverrretningen ligger neste, sekundære maksimum mellom første u = π og andre u = 2π lokale minimum. Antar man at det ligger midt imellom disse to verdiene, vil det tilsvare u = 3π/2 . Dermed vil størrelsen av dette lokale maksimumet bare bli omtrent 1/20 av intensiteten i fremoverretningen.^[3]

Denne intensiteten er beregnet under den antagelse at diffraksjonsmønsteret blir observert langt borte fra spalten. Da kan sekundærbølgene som utgår fra den, beskrives som plane bølger med samme retning og intensiteten antar en éntydig form. Dette omtales vanligvis som Fraunhofer-diffraksjon. I motsatt fall er det mye vanskeligere å beregne intensiteten nærme spalten. Da har man med Fresnel-diffraksjon å gjøre, og diffraksjonsmønstret vil ha en komplisert avhengighet av avstanden til spalten.^[2]

Generell beregning

Diffraksjon for bølger kan i det generelle tilfellet beregnes fra Kirchhoffs diffraksjonsteori. Hvis man antar at det gjelder én eller flere åpninger S med koordinater (x' ,y' ), kan Huygens-Fresnels prinsipp da uttrykkes ved integralet

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\int _{S}\!dx'dy'E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}

Her representerer E(x' ,y' ,0) den innkommende, plane bølgefronten i åpningen hvor det i hvert punkt blir sendt ut kulebølger på den komplekse formen e^ikr/r der

r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}

Integralet gir amplituden til den avbøyde bølgen i et vilkårlig punkt (x,y,z) bak åpningen når man ser bort fra en ubetydelig faktor som avhenger av retningen til separasjonen r .

Amplituden E(x' ,y' ,0) i åpningen blir en konstant E₀ når det innkommende lyset er plane bølger som beveger seg vinkelrett mot den. Men likevel har det en så komplisert form at det vanligvis ikke kan beregnes eksakt, men må utføres ved numeriske metoder. Kun for spesielle geometrier eller med ekstra antagelser vil det gi analytiske resultat. Derimot kan en god, kvalitativ forståelse av det resulterende diffraksjonsmønsteret ofte oppnås ved bruk av Fresnel-soner.^[4]

Sirkulær åpning

I det spesielle tilfellet at man har en sirkulær åpning, kan diffraksjonsamplituden beregnes eksakt på aksen x = y = 0 i en avstand z bak denne.^[5] Man kan da benytte polare koordinater

x'=\rho '\cos \phi ',\;y'=\rho '\sin \phi '

for punktene i åpningen til diffraktoren. Integralet tar dermed formen

.{\begin{aligned}E(0,0,z)&=-{i \over \lambda }E_{0}\int _{0}^{a}2\pi \rho '\,d\rho '\,{e^{ik{\sqrt {\rho '^{2}+z^{2}}}} \over {\sqrt {\rho '^{2}+z^{2}}}}\\&=E_{0}(e^{ikz}-e^{ik{\sqrt {a^{2}+z^{2}}}})\end{aligned}}

når a er radius til åpningen og man har z > a. Intensiteten langs aksen vil da variere som

.{\begin{aligned}I(0,0,z)&={1 \over 2}E^{*}(0,0,z)E(0,0,z)\\&=E_{0}^{2}\left[1-\cos(k{\sqrt {a^{2}+z^{2}}}-kz)\right]\end{aligned}}

Like bak åpningen oscillerer denne raskt mellom null og en maksimalverdi. Det betyr at det finnes punkter langs aksen hvor intensiteten blir null og det observeres mørke punkt i diffraksjonsbildet. Det er i sterk kontrast til Poissons flekk som lyser langs hele aksen bak en sirkulær, absorberende disk hvor man skulle ha forventet totalt mørke. Disse to fenomenene er forbundet ved Babinets prinsipp.

Når avstanden til åpningen blir mye større en dennes utstrekning, opphører oscillasjonene og intensiteten avtar på en jevnere måte. Beregningen forenkles da til Fraunhofer-diffraksjon som gjør det mulig å finne intensiteten også i alle punkt utenfor aksen.^[4]

Fraunhofer-approksimasjon

Når diffraksjonsmønsteret bak en åpning observeres langt unna, inntar det en éntydig form som ikke forandrer seg mer med avstanden. Det fremkommer da ved Fraunhofer-diffraksjon og som kan beskrives ved å forenkle det generelle integralet i to trinn. For det første kan man benytte binomialformelen til å skrive separasjonen r som

r=z+{(x-x')^{2}+(y-y')^{2} \over 2z}+\cdots

når z blir mye større enn de andre koordinatene. I nevneren til integralet kan man nå sette r = z da den varierer langsomt sammenlignet med eksponensialfunksjonen. Der må man beholde den første korreksjonen til denne avstanden. Det gir det noe enklere integralet

E(x,y,z)=-{i \over \lambda z}\int _{S}\!dx'dy'E(x',y',0)\,e^{{ik \over 2z}(x'^{2}+y'^{2})}\,e^{-i{k \over z}(xx'+yy')}

når man ser bort fra en fasefaktor som ikke bidra til intensiteten og kan tas inn i amplituden E(x' ,y' ,0). Med denne lille forenklingen vil det nå gi amplituden for det som kalles Fresnel-diffraksjon. De fleste utregninger må likevel gjøres numerisk, men kan noen ganger uttrykkes ved tabulerte Fresnel-integral.^[2]

Fresnel-tallet

Fraunhofer-diffraksjon med rødt laserlys og hull med radius a = 90 μm.

En stiørre forenkling oppnås ved å anta i tillegg at utstrekningen av åpningen er mye mindre enn avstanden z. Hvis denne har en karakteristisk størrelse a, så kan man neglisjere det kvadratiske leddet i eksponenten til den første eksponensialfunksjonen i integranden når Fresnel-tallet

F:={a^{2} \over \lambda z}\ll 1

Det kan også defineres for andre situasjoner. Men i telleren inngår alltid kvadratet av en lengde som karakteriserer utstrekningen til diffraktoren, mens nevneren inneholder produktet av bølgelengden og avstanden til denne fra lyskilde eller skjerm.

Med denne «Fraunhofer-approksimasjonen» kan nå den resulterende amplituden

E(x,y,z)=-{i \over \lambda z}\int _{S}\!dx'dy'E(x',y',0)\,e^{-ik(xx'+yy')/z}

for Fraunhofer-diffraksjon finnes som den todimensjonale, Fourier-transformerte av åpningens geometriske form. I det motsatte tilfellet når Fresnel-tallet F >> 1, må den tidligere formen av integralet benyttes og man har Fresnel-diffraksjon.^[4]

Sylindersymmetri

Med bruk av Fraunhofer-approksimasjonen kan amplituden beregnes utenfor den sentrale aksen til en sirkulær åpning med radius a. Da er det naturlig å benytte polarkoordinater å også for observasjonspunktet, det vil si x = ρ cosφ og y = ρ sinφ . Amplituden tar dermed formen

E(\rho ,\phi ,z)=-{i \over \lambda z}E_{0}\int _{0}^{a}\rho '\,d\rho '\int _{0}^{2\pi }\!d\phi '\,e^{-ik\rho \rho '\!\cos(\phi -\phi ')/z}

Integralet over vinkelen φ' kan her uttrykkes ved en Bessel-funksjon som er definert akkurat på denne måten,

J_{0}(u)=\int _{0}^{2\pi }\!{d\alpha  \over 2\pi }e^{iu\cos \alpha }

Det fjerner all avhengighet av den andre vinkelen φ slik at diffraksjonsmønsteret blir som forventet rotasjonssymmetrisk om hullets sentrum. Den siste integrasjonen utføres ved å bruke identiteten

\int _{0}^{v}\!du\,uJ_{0}(u)=vJ_{1}(v)

hvor en ny Bessel-funksjon opptrer på høyre side. Intensiteten bak åpningen er gitt ved kvadratet av denne amplituden. Resultatet kan uttrykkes ved θ = ρ /z som er den lille avbøyningsvinkelen. Argumentet til Bessel-funksjonen blir da v = k aθ = 2π a θ/λ . Det gir resultatet

I(\theta ,z)=4I_{0}(z)\left({J_{1}(ka\theta ) \over ka\theta }\right)^{2}

hvor I₀ er intensiteten i fremoverrretning θ = 0 og avtar med avstanden til hullet som 1/z². Det er en konsekvens av at J₁(v )/v = 1/2 i grensen der v går mot null.^[5]

Til siden for det sentrale maksimumet avtar intensiteten raskt og blir null for v₁ = 3.832. Det tilsvarer vinkelen

\theta _{1}=1.22{\lambda  \over D}

hvor D = 2a er diameteren til hullet. Dette nullpunktet gir en mørk ring rundt sentrum. Flere ringer følger lenger ut der Bessel-funksjonen J₁(v ) igjen blir null. Hele diffraksjonsbildet omtales vanligvis som en Airy-disk, oppkalt etter den engelske astronom George Biddell Airy. Han innså dets betydning for oppløsning av detaljene i fotografiske bilder av stjerner gjennom teleskop.^[2]

Rayleigh-Sommerfelds korreksjon

Like bak en ugjennomsiktig, sirkulær skive forventes det mørke. Det følger også fra Fresnels diffraksjonsteori som i tillegg gir en lysende Poisson-flekk på aksen midt i skyggen. Den skyldes sekundærbølger som blir sendt ut i retninger som danner store vinkler med normalen til skiven. Allerede Fresnel var klar over at disse måtte ha reduserte amplituder, men det var først i Kirchhoffs diffraksjonsteori at denne reduksjonsfaktoren kunne beregnes. Nærmere studier av dette resultatet førte Rayleigh og Sommerfeld til at korreksjonen måtte være gitt som cosinus til vinkelen som retningen til sekundærbølgen avviker fra normalen.^[5]

Lysintensiteten like bak en skive er null, men vokser raskt til en konstant verdi ved økende avstand.

Amplituden til lyset i et punkt på aksen kan derfor beregnes mer nøyaktig på lignende måte som for en sirkulær åpning. Med bruk av polarkoordinater er den gitt ved integralet

E(0,z)=-{i \over \lambda }E_{0}\int _{a}^{\infty }2\pi \rho '\,d\rho '\,{\frac {e^{ikr}}{r}}\cos \chi

hvor $r^{2}=z^{2}+\rho '^{2}$ og $\cos \chi =z/r$ er Rayleigh-Sommerfelds korreksjon. Ved å benytte at $\rho '\,d\rho '=rdr,$ kan det beregnes som

.{\begin{aligned}E(0,z)&=-ikzE_{0}\int _{\sqrt {a^{2}+z^{2}}}^{\infty }\!dr\,{\frac {e^{ikr}}{r}}\\&=E_{0}{z \over {\sqrt {a^{2}+z^{2}}}}e^{ik{\sqrt {a^{2}+z^{2}}}}\end{aligned}}

etter en partiell integrasjon hvor randleddet kan neglisjeres. Det er tillatt når ka >> 1 som betyr at disken eller kulen har en radius som må være mye større enn bølgelengden til lyset. Intensiteten til lyset på aksen vil derfor variere med avstanden til disken som

I(0,z)={z^{2} \over a^{2}+z^{2}}I_{0}

Den er derfor omtrent null like bak skiven og vokser til den maksimale verdien I₀ først i en avstand som er stor i forhold til størrelsen til skiven.

Se også

Referanser

^ G. Holton and S.G. Brush, Physics, the Human Adventure, Rutgers University Press, New Brunswick, New Jersey (2001). ISBN 0-8135-2908-5.
^ ^a ^b ^c ^d ^e E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
^ ^a ^b F.W. Sears, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1975).
^ ^a ^b ^c M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, London (1965).
^ ^a ^b ^c A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1959).

Eksterne lenker

YouTube, Fresnel and Fraunhofer Diffrraction
HyperPhysics, Diffraction, mye forskjellig om diffraksjon.
Farside, Wave Optics, forelesninger ved University of Texas.

[HB-1] G. Holton and S.G. Brush, Physics, the Human Adventure, Rutgers University Press, New Brunswick, New Jersey (2001). ISBN 0-8135-2908-5.

[Hecht-2] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.

[Sears-3] F.W. Sears, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1975).

[BW-4] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, London (1965).

[Sommerfeld-5] A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1959).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]