Fraunhofer-diffraksjon

Fraunhofer-diffraksjon er en type diffraksjon hvor lys blir avbøyd av en hindring og den resulterende intensiteten blir observert i stor avstand fra denne. Alternativt kan det gjøres i fokalplanet til en konvergent linse som plasseres bak hindringen.

Diffraksjonsbildet nærmere hindringen eller åpningen må beskrives ved Fresnel-diffraksjon som vanligvis er beregningsmessig mer komplisert, men også av mindre praktisk betydning. I motsetning til Fraunhofer-diffraksjon, vil man da ha et diffraksjonsbilde som ikke er éntydig, men avhenger av avstanden til hindringen.

Dette optiske fenomenet har fått sitt navn knyttet til den tyske optiker Joseph von Fraunhofer. Han hadde ikke noe spesielt med dets utforskning å gjøre, men var med å utvikle optiske gitter hvor denne diffraksjonsteorien benyttes.^[1]

Beskrivelse

Diffraksjon av lys fra forskjellige objekter kan generelt forklares og beregnes ved bruk av Kirchhoffs diffraksjonsteori basert på løsning av bølgeligningen. Den gir en matematisk formulering av det opprinnelige Huygens-prinsippet som ble videreført av Augustin Fresnel i første halvdel av 1800-tallet. Når det avbøyde lyset observeres langt borte fra diffraktoren, forenkles teorien og går over til å bli det som nå kalles Fraunhofer-diffraksjon.

Den enkleste beskrivelse fremkommer når man antar at det innkommende lyset er en plan bølge som beveger seg vinkelrett mot en vegg med én eller flere åpninger som utgjør en flate S. Ved bruk av kartesiske koordinater kan man plassere denne veggen i z = 0 og observere det avbøyde lyset i punktet (x,y,z). Det vil da ha amplituden

E(x,y,z)=-{i \over \lambda z}E_{0}\int _{S}\!dx'dy'\,e^{-ik(xx'+yy')/z}

hvor integralet går over åpningen S med koordinater (x' ,y' ). Her er E₀ amplituden til det innkommende lyset med bølgelengde λ og derfor et tilsvarende bølgetall k = 2π /λ . Avstanden z er antatt å være mye større enn både denne bølgelengden og karakteristisk utstrekning av diffraktoren.

Åpningen S er omsluttet av en kurve ∂S som formelt er gitt ved en viss funksjon f (x' ,y' ) = 0. Fra uttrykket for diffraksjonsamplituden ser man at den er gitt som en todimensjonal Fourier-transformasjon av formen til åpningen. Den gir derfor direkte det observerte diffraksjonsbildet. Denne matematiske sammenhengen medfører mange beregningsmessige fordeler.^[2]

Rektangulær åpning

Når åpningen med sidekanter a og b er plassert med sitt sentrum i origo, blir diffraksjonsintegralet

{\begin{aligned}E(x,y,z)&=-{i \over \lambda z}E_{0}\int _{-a/2}^{a/2}\!dx'\,e^{-ikxx'/z}\int _{-b/2}^{b/2}\!dy'\,e^{-ikyy'/z}\\&=-{iE_{0}z \over \lambda k^{2}xy}\sin {kxa \over 2z}\sin {kby \over 2z}\end{aligned}}

Ved å iinnføre de to ny variable

u={kax \over 2z}={\pi ax \over \lambda z},\quad v={kby \over 2z}={\pi by \over \lambda z},

vil derfor den observerte intensiteten variere som

I(x,y,z)=I_{0}(z)\left({\sin u \over u}\right)^{2}\left({\sin v \over v}\right)^{2}

Da sinu/u = 1 i grensen der u → 0 , er I₀(z) intensiteten i fremoverretning og avtar som 1/z². Til siden for denne, er diffraksjonsmønsteret periodisk både langs x- og y-aksen.^[2]

Når den ene siden i den rektangulære åpningen blir mye mindre enn den andre, går den over til å bli en smal spalte. For eksempel, hvis den er mye lengre i y-retning enn i x-retning, vil mønsteret bli tydelig periodisk bare i x-retning.^[3]

Sirkulær disk

Diffraksjonsmønsteret bak en rund kule med radius a eller opak skive med samme radius, kan finnes ved bruk av Babinets prinsipp. Det sier at ved Fraunhofer-diffraksjon vil intensiteten utenom fremoverretningen for en slik hindring av lyset, være den samme som for den «komplementære» åpningen. Den vil i dette tilfellet være en sirkulær åpning med samme radius. Intensiteten bak denne i retning θ er da

I(\theta ,z)=4I_{0}(z)\left({J_{1}(ka\theta ) \over ka\theta }\right)^{2}

Den har et kraftig maksimum i fremoverretningen θ = 0. Dette er omgitt av svakere, lysende ringer.

Dette diffraksjonsmønsteret er svært forskjellig fra hva som observeres mye nærmere den absorberende skiven. Da må intensiteten beregnes som Fresnel-diffraksjon. Den gir et mørkt område i den geometriske skyggen til skiven bortsett fra et lysende punkt i sentrum. Det er den historisk viktige Poisson-flekken som Fresnel fant og som viste at lys er et bølgefenomen.

Med økende avstand fra skiven, vil kanten til skyggen gradvis erstattes av lysende, konsentriske ringer, mens intensiteten til den sentrale flekken forblir den samme. Først ved enda større avstander fylles det mørke området med slike ringer og Poisson-flekken går inn i det sentrale maksimumet som oppstår ved Fraunhofer-diffraksjon.^[3]

Se også

Referanser

^ O. Darrigol, A History of Optics, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 978-0-19-876695-7.
^ ^a ^b E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
^ ^a ^b A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1959).

Eksterne lenker

HyperPhysics, Fraunhofer Diffraction Geometry, forskjellige aspekt ved Fraunhofer-diffraksjon.

[Darrigol-1] O. Darrigol, A History of Optics, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 978-0-19-876695-7.

[Hecht-2] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.

[Sommerfeld-3] A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1959).

[1]

[2]

[3]